Question

如圖，四邊形ABCD是等腰梯形，下底AB在x軸上，點(diǎn)D在y軸上，直線AC與y軸交于點(diǎn)E（0，1），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，3）．
（1）求A、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過(guò)A、D、C三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在y軸上是否在點(diǎn)P，使△ACP是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出滿足條件的所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0）。點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，3）。
（2）y=x²﹣2x+3。
（3）存在。滿足條件的點(diǎn)P有5個(gè)，分別為：P₁（0，2），P₂（0，），P₃（0，），P₄（0，），P₅（0，）。

試題分析：（1）利用待定系數(shù)法求出直線EC的解析式，確定點(diǎn)A的坐標(biāo)；然后利用等腰梯形的性質(zhì)，確定點(diǎn)D的坐標(biāo)。
（2）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式。
（3）滿足條件的點(diǎn)P存在，且有多個(gè)，需要分類討論：
①作線段AC的垂直平分線，與y軸的交點(diǎn)，即為所求；
②以點(diǎn)A為圓心，線段AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)，即為所求；
③以點(diǎn)C為圓心，線段CA長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)，即為所求。
解：（1）設(shè)直線EC的解析式為y=kx+b，
根據(jù)題意得：，解得。
∴y=x+1，
當(dāng)y=0時(shí)，x=﹣1，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0）。
∵四邊形ABCD是等腰梯形，C（2，3），∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，3）。
（2）設(shè)過(guò)A（﹣1，0）、D（0，3）、C（2，3）三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，則有：
　，解得。
∴拋物線的關(guān)系式為：y=x²﹣2x+3。
（3）存在。
①作線段AC的垂直平分線，交y軸于點(diǎn)P₁，交AC于點(diǎn)F，

∵OA=OE，
∴△OAE為等腰直角三角形，∠AEO=45°。
∴∠FEP₁=∠AEO=45°。
∴△FEP₁為等腰直角三角形。
∵A（﹣1，0），C（2，3），點(diǎn)F為AC中點(diǎn)，
∴F（）。
∴等腰直角三角形△FEP₁斜邊上的高為。
∴EP₁=1�！郟₁（0，2）。
②以點(diǎn)A為圓心，線段AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交y軸于點(diǎn)P₂，P₃．
可求得圓的半徑長(zhǎng)AP₂=AC=3，
連接AP₂，則在Rt△AOP₂中，,
∴P₂（0）.
∵點(diǎn)P₃與點(diǎn)P₂關(guān)于x軸對(duì)稱，∴P₃（0，）.
③以點(diǎn)C為圓心，線段CA長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交y軸于點(diǎn)P₄，P₅，
則圓的半徑長(zhǎng)CP₄=CA=3，
在Rt△CDP₄中，CP₄=3，CD=2，
∴。
∴OP₄=OD+DP₄=�！郟₄（0，）.
同理，可求得：P₅（0，）。
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P有5個(gè)，分別為：P₁（0，2），P₂（0，），P₃（0，），P₄（0，），P₅（0，）。