Question

【題目】已知，如圖，AB是的直徑，C是上一點(diǎn)，連接AC，過(guò)點(diǎn)C作直線于D（），點(diǎn)E是DB上任意一點(diǎn)（點(diǎn)D、B除外），直線CE交于點(diǎn)F.連接AF與直線CD交于點(diǎn)G.

（1）求證：

（2）若點(diǎn)E是AD（點(diǎn)A除外）上任意一點(diǎn)，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)畫出圖形并給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）成立，證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）欲證AC2=AGAF，即證AC：AG=AF：AC，可以通過(guò)證明△AGC∽△ACF得到；

（2）分清E點(diǎn)在AD上有兩種情況，然后逐一證明．

（1）證明：連接CB，

∵AB是直徑，CD⊥AB，

∴∠ACB=∠ADC=90°，又∠CAD=∠BAC，

∴△CAD∽△BAC，

∴∠ACD=∠ABC，

∵∠ABC=∠AFC，

∴∠ACD=∠AFC，∠CAG=∠FAC，

∴△ACG∽△AFC，

∴，

∴AC2=AGAF；

（2）當(dāng)點(diǎn)E是AD（點(diǎn)A除外）上任意一點(diǎn)，上述結(jié)論仍成立

①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí)，F與G重合，如圖所示：

有AG=AF，∵CD⊥AB，

∴ ，AC=AF，

∴AC2=AGAF；

②當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D不重合時(shí)（不含點(diǎn)A）時(shí)，如圖所示：

證明類似（1）．