Question

如圖，一次函數(shù)y=x-5分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象經(jīng)過A、B兩點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)D、E是線段AB上異于A、B的兩個(gè)動點(diǎn)（E點(diǎn)位于D點(diǎn)上方），DE=．
①若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t，用含t的代數(shù)式表示D、E的坐標(biāo)；
②拋物線上是否存在點(diǎn)F，使點(diǎn)F與點(diǎn)D關(guān)于x軸對稱，如果存在，請求出△AEF的面積；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)直線的解析式求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．
（2）可先根據(jù)OA，OB的比例關(guān)系，求出D，E兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)差與橫坐標(biāo)差的比例關(guān)系，然后根據(jù)DE的長求出這兩個(gè)差值．進(jìn)而可表示出D，E兩點(diǎn)的坐標(biāo)．然后可根據(jù)F，D關(guān)于y軸對稱，表示出F點(diǎn)的坐標(biāo)，已知F點(diǎn)在拋物線上，可據(jù)此求出t的值，即可求出D，E兩點(diǎn)的坐標(biāo)．進(jìn)而可求出三角形AEF的面積．
解答：解：（1）由題意可得A（5，0）B（0，-5）
代入解析式y(tǒng)=-x²+bx+c
解得，
∴解析式為：y=-x²+6x-5．

（2）①作DQ∥y軸EQ⊥DQ
∵OA=5，OB=5
∴△OAB為等腰直角三角形
△DEQ∽△BAO
∵△DQE為等腰直角三角形
∴DE=，
∴DQ=EQ=1
∴D（t，t-5）
E（t+1，t-4）
②∵F與D關(guān)于x軸對稱
∴F（t，5-t）代入拋物線解析式
得5-t=-t²+6t-5
解得t₁=2  t₂=5
∵D、E異于A、B兩點(diǎn)
∴t=5舍去
∴t=2，
∴F（2，3），D （2，-3），E （3，-2），
∴AE=2，EF=，AF=3，
∴AE²+AF²=EF²，
∴∠EAF=90°，
∴S_△AEF=2×3×=6．
點(diǎn)評：本題主要考查二次函數(shù)解析式的確定、圖形的面積求法、函數(shù)圖象交點(diǎn)、相似三角形等知識及綜合應(yīng)用知識、解決問題的能力．