Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點E是CD的中點，點F是BC上的一點，且BF＝3CF，連接AE、AF、EF，下列結論：①∠DAE＝30°，②△ADE∽△ECF，③AE⊥EF，④AE2＝ADAF，其中正確結論的個數是（　�。�

A.1個B.2個C.3個D.4個

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據題意可得tan∠DAE的值，進而可判斷①；設正方形的邊長為4a，根據題意用a表示出FC，BF，CE，DE，然后根據相似三角形的判定方法即可對②進行判斷；在②的基礎上利用相似三角形的性質即得∠DAE＝∠FEC，進一步利用正方形的性質即可得到∠DEA+∠FEC＝90°，進而可判斷③；利用相似三角形的性質即可判斷④.

解：∵四邊形ABCD是正方形，E為CD中點，∴CE＝ED＝DC＝AD，

∴tan∠DAE＝，∴∠DAE≠30°，故①錯誤；

設正方形的邊長為4a，則FC＝a，BF＝3a，CE＝DE＝2a，

∴，∴，又∠D＝∠C=90°，

∴△ADE∽△ECF，故②正確；

∵△ADE∽△ECF，∴∠DAE＝∠FEC，

∵∠DAE+∠DEA＝90°∴∠DEA+∠FEC＝90°，

∴AE⊥EF．故③正確；

∵△ADE∽△ECF，∴，∴AE2＝ADAF，故④正確.

綜上，正確的個數有3個，故選：C.