Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，AH⊥BC于點(diǎn)H．動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BC向點(diǎn)C以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為點(diǎn)F．點(diǎn)E出發(fā)后，以EF為邊向上作等邊三角形EFG，設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，△EFG和△AHC的重合部分面積為S．

（1）CE= （含t的代數(shù)式表示）．

（2）求點(diǎn)G落在線段AC上時(shí)t的值．

（3）當(dāng)S＞0時(shí)，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

（4）點(diǎn)P在點(diǎn)E出發(fā)的同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)沿A-H-A以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度作往復(fù)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P隨之停止運(yùn)動(dòng)，直接寫出點(diǎn)P在△EFG內(nèi)部時(shí)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）6-2t；（2）t=2；（3）當(dāng)＜t≤2時(shí)，S=t2+t-3；當(dāng)2＜t≤3時(shí)，S=-t2+t-；（4）＜t＜．

【解析】

試題分析: （1）由菱形的性質(zhì)得出BC=AB=6得出CE=BC-BE=6-2t即可；

（2）由菱形的性質(zhì)和已知條件得出△ABC是等邊三角形，得出∠ACB=60°，由等邊三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)得出∠GEF=60°，GE=EF=BEsin60°=t，證出∠GEC=90°，由三角函數(shù)求出CE==t，由BE+CE=BC得出方程，解方程即可；

（3）分兩種情況：①當(dāng)＜t≤2時(shí)，S=△EFG的面積-△NFN的面積，即可得出結(jié)果；

②當(dāng)2＜t≤3時(shí)，由①的結(jié)果容易得出結(jié)論；

（4）由題意得出t=時(shí)，點(diǎn)P與H重合，E與H重合，得出點(diǎn)P在△EFG內(nèi)部時(shí)，t的不等式，解不等式即可．

試題解析：（1）根據(jù)題意得：BE=2t，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴BC=AB=6，

∴CE=BC-BE=6-2t；

（2）點(diǎn)G落在線段AC上時(shí)，如圖1所示：

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=BC，

∵∠ABC=60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴∠ACB=60°，

∵△EFG是等邊三角形，

∴∠GEF=60°，GE=EF=BEsin60°=t，

∵EF⊥AB，

∴∠BEF=90°-60°=30°，

∴∠GEB=90°，

∴∠GEC=90°，

∴CE==t，

∵BE+CE=BC，

∴2t+t=6，

解得：t=2；

（3）分兩種情況：①當(dāng)＜t≤2時(shí)，如圖2所示：

S=△EFG的面積-△NFN的面積=××（t）2-××（-+2）2=t2+t-3，

即S=t2+t-3；

當(dāng)2＜t≤3時(shí)，如圖3所示：

S=t2+t-3-（3t-6）2，

即S=-t2+t-；

（4）∵AH=ABsin60°=6×=3，3÷2=，3÷2=，

∴t=時(shí)，點(diǎn)P與H重合，E與H重合，

∴點(diǎn)P在△EFG內(nèi)部時(shí)，-＜（t-）×2＜t-（2t-3）+（2t-3），

解得：＜t＜；

即點(diǎn)P在△EFG內(nèi)部時(shí)t的取值范圍為：＜t＜．