Question

已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，以BC邊為直徑作半圓O，P為DC上一動(dòng)點(diǎn)（可與D重合但不與C重合），連接BP交半圓O于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)O作直線l∥CE交AB（或AD）于點(diǎn)Q．
（1）如圖1，求證：△OBQ∽△PEC；
（2）設(shè)DP=t（0≤t＜2），直線l截正方形所得左側(cè)部分圖形的面積為S，試求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)點(diǎn)Q落在AD（不含端點(diǎn)）上時(shí)，問(wèn)以O(shè)、P、Q為頂點(diǎn)的三角形能否是等腰三角形？若能，請(qǐng)指出此時(shí)點(diǎn)P的位置；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角得到∠BEC=90°，而正方形的內(nèi)角也為直角，從而得到∠BEC=∠QBC，又根據(jù)兩直線平行得同位角的相等以及同角的余角相等得到∠BOQ=∠BPC，根據(jù)兩組對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似，進(jìn)而得證；
（2）根據(jù)時(shí)間t的范圍分兩種情況考慮：當(dāng)0≤t≤1時(shí)，Q在AB上，直線l截正方形所得左側(cè)部分圖形為直角三角形，由兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似得到△OBQ∽△PBC，得到比例式，求出QB的長(zhǎng)，以及OB的長(zhǎng)，求出三角形的面積即為所求的S；當(dāng)1＜t＜2時(shí)，Q在AD上，此時(shí)S表示梯形ABOQ面積，過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥BC，交BC于點(diǎn)M，利用“ASA”證明△QOM≌△BPC，得到OM=CP，表示出CP得到OM的長(zhǎng)，再表示出AQ的長(zhǎng)，根據(jù)梯形的面積公式即可求出S；
（3）利用反證法，方法是根據(jù)圖形表示出三角形OPQ的三邊，分別假設(shè)其中的兩者相等，推出矛盾，假設(shè)錯(cuò)誤，故以O(shè)、P、Q為頂點(diǎn)的三角形不可能是等腰三角形．

解答：解：（1）∵直徑所對(duì)的圓周角為90°，
∴∠BEC=90°=∠QBC，
∵直線l∥CE交AB（或AD）于點(diǎn)Q．
∴∠BOQ=∠BCE，
又∠BCE+∠PCE=90°，∠PCE+∠BPC=90°，
∴∠BOQ=∠BPC，
∴△OBQ∽△PEC；

（2）當(dāng)0≤t≤1時(shí)，Q在AB上，
∵∠OBQ=∠PCB=90°，
又∵∠PBC+∠QOB=90°，∠QOB+∠BQO=90°，
∴∠PBC=∠BQO，
∴△OBQ∽△PBC，
∴QB：BC=BO：PC，即QB：2=1：（2-t），
解得：QB=

2

2-t

，又OB=

1

2

BC=1，
則S=

1

2

OB•QB=

1

2-t

；
當(dāng)1＜t＜2時(shí)，Q在AD上，此時(shí)S表示梯形ABOQ面積，
根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：

過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥BC，交BC于點(diǎn)M，
∵ABCD為正方形，
∴∠QMO=∠BCP=90°，AB=BC=QM，
又∠QOM+∠OQM=90°，∠QOM+∠PBC=90°，
∴∠OQM=∠PBC，
∴△QOM≌△BPC，
又DP=t，DC=2，得到：CP=2-t，
∴OM=PC=2-t，
∴AQ=1-（2-t）=t-1，
則S=

2(t-1+1)

2

=t；

（3）當(dāng)Q在AD上（不含端點(diǎn)）上時(shí)，
連接PQ，由QM=2，OM=2-t，
根據(jù)勾股定理得：OQ²=4+（2-t）²=t²-4t+8，
又QD=2-（t-1）=3-t，DP=t，
根據(jù)勾股定理得：QP²=（3-t）²+t²=2t²-6t+9，
連接OP，由PC=2-t，OC=1，
根據(jù)勾股定理得：OP²=1²+（2-t）²=t²-4t+5，
顯然OP≠OQ；
假設(shè)OP=PQ，即2t²-6t+9=t²-4t+5，
解得t=2，
P與C重合，不合題意，假設(shè)錯(cuò)誤，故OP≠PQ，
若OQ=PQ，t²-4t+8=2t²-6t+9，
整理得：t²-2t+1=0，即（t-1）²=0，
解得：t=1，
不合題意，假設(shè)錯(cuò)誤，故OQ≠PQ；
∴當(dāng)Q落在AD（不含端點(diǎn)）上時(shí)，以O(shè)、P、Q為頂點(diǎn)的三角形不可能是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)以及勾股定理．學(xué)生作（2）時(shí)注意根據(jù)Q的位置分兩種情況考慮，（3）采用的方法是反證法，注意反證法的步驟：先否定結(jié)論，根據(jù)推理得到與已知，定理及公理矛盾，得到假設(shè)錯(cuò)誤，所以原命題正確．