Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，⊙O的圓心O在坐標(biāo)原點(diǎn)，直徑AB=8，點(diǎn)P是直徑AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與A、B兩點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)P的直線PQ的解析式為y=x+m，當(dāng)直線PQ交y軸于Q，交⊙O于C、D兩點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CE垂直于x軸交⊙O于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EG垂直于y軸，垂足為G，過(guò)點(diǎn)C作CF垂直于y軸，垂足為F，連接DE．
（1）點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，sin∠CPB=

2

2

；
（2）當(dāng)m=3時(shí)，試求矩形CEGF的面積；
（3）當(dāng)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，探索PD²+PC²的值是否會(huì)發(fā)生變化？如果發(fā)生變化，請(qǐng)你說(shuō)明理由；如果不發(fā)生變化，請(qǐng)你求出這個(gè)不變的值；
（4）如果點(diǎn)P在射線AB上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△PDE的面積為4時(shí)，請(qǐng)你求出CD的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析：（1）利用圖象與x，y軸交點(diǎn)坐標(biāo)得出QO=PO，從而得出∠CPB的度數(shù)，計(jì)算出sin∠CPB的值即可；
（2）利用勾股定理求出CF，F(xiàn)O的長(zhǎng)度，求出矩形CEGF的面積即可；
（3）根據(jù)PC²+PD²=PD²+PE²=DE²，得出即可；
（4）分別從當(dāng)點(diǎn)P在直徑AB上時(shí)，以及當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)得出CD與CM的長(zhǎng)度關(guān)系，進(jìn)而求出即可．

解答：解：（1）∵過(guò)點(diǎn)P的直線PQ的解析式為y=x+m，
∴圖象與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)的為：（-m，0），圖象與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)的為：（0，m），
∴QO=PO，∠POQ=90°，
∴∠CPB=45°，
則sin∠CPB=

2

2

．
故答案為：

2

2

；

（2）∵∠CPB=45°，
∴∠CQF=∠PQO=45°，
∴FC=FQ，
設(shè)FC=FQ=a，
則OF=a+3，
如圖1，連接OC，
在Rt△OCF中，F(xiàn)C²+OF²=OC²?a²+（a+3）²=4²?2a²+6a=7，
∴S_{四邊形CEGF}=CF×2FO=a×2（a+3）=7；

（3）不變．
∵AB垂直平分CE，
∴PC=PE，且∠CPB=∠EPH=45°，
∴PE⊥CD，
∴PD²+PC²=PD²+PE²=DE²，
∵∠PCH=45°，
∴

DE

=90°，
∴DO⊥EO，
∴DE=

2

OD=4

2

，
∴PD²+PC²=32；

（4）當(dāng)點(diǎn)P在直徑AB上時(shí)，S_△PDE=

1

2

PD×PE=

1

2

PD×PC=4，PD×PC=8，
又∵PD²+PC²=32，
∴CD²=（PD+PC）²=32+16=48，CD=4

3

，
如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在AB延長(zhǎng)線上，
同理可得：CD²=（PC-PD）²=32-16=16，
開(kāi)方得：CD=4．
綜上，CD的長(zhǎng)為4

3

或4．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓的綜合題，三角形的面積以及平方差公式應(yīng)用以及一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，要注意的是（4）中，要根據(jù)P點(diǎn)的不同位置進(jìn)行分類求解．