Question

恩施州自然風光無限，特別是以“雄、奇、秀、幽、險”著稱于世.著名的恩施大峽谷（A）和世界級自然保護區(qū)星斗山（B）位于筆直的滬渝高速公路X同側，AB=50km,A、B到直線X的距離分別為10km和40km,要在滬渝高速公路旁修建一服務區(qū)P,向A、B兩景區(qū)運送游客.小民設計了兩種方案，圖（1）是方案一的示意圖(AP與直線X垂直，垂足為P),P到A、B的距離之和S1=PA+PB； 圖（2）是方案二的示意圖(點A關于直線X的對稱點是A'，連接BA'交直線X于點P),P到A、B的距離之和S2=PA+PB.　

(1).求S1 、S2 ,并比較它們的大小.

(2).請你說明S2=PA+PB的值為最小.

(3).擬建的恩施到張家界高速公路Y與滬渝高速公路垂直，

建立如圖所示的直角坐標系，B到直線Y的距離為30km,請你在X旁和Y旁各修建一服務區(qū)P、Q,使P、A、B、Q 組成的四邊形的周長最小.并求出這個最小值.

　　

Answer 1

解:⑴圖（1）中過B作BC⊥AP,垂足為C,則PC=40,又AP=10,

∴AC=30                  ．

在Rt△ABC 中，AB=50 AC=30   ∴BC=40 

∴ BP=

S1=         

⑵圖（2）中，過B作BC⊥AA′垂足為C，則A′C=50，

又BC=40

∴BA'=

由軸對稱知：PA=PA'

∴S2=BA'=           

∴                    

(2)如 圖（2），在公路上任找一點M,連接MA,MB,MA'，由軸對稱知MA=MA'

∴MB+MA=MB+MA'A'B

∴S2=BA'為最小      

（3）過A作關于X軸的對稱點A', 過B作關于Y軸的對稱點B'，

連接A'B',交X軸于點P, 交Y軸于點Q,則P,Q即為所求

過A'、 B'分別作X軸、Y軸的平行線交于點G,

A'B'=

∴所求四邊形的周長為