(2008•赤峰)在平面直角坐標(biāo)系中給定以下五個(gè)點(diǎn)A(-3,0),B(-1,4),C(0,3),D(,),E(1,0).
(1)請(qǐng)從五點(diǎn)中任選三點(diǎn),求一條以平行于y軸的直線為對(duì)稱軸的拋物線的解析式;
(2)求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸,并畫(huà)出草圖;
(3)已知點(diǎn)F(-1,)在拋物線的對(duì)稱軸上,直線y=過(guò)點(diǎn)G(-1,)且垂直于對(duì)稱軸.驗(yàn)證:以E(1,0)為圓心,EF為半徑的圓與直線y=相切.請(qǐng)你進(jìn)一步驗(yàn)證,以拋物線上的點(diǎn)D(,)為圓心DF為半徑的圓也與直線y=相切.由此你能猜想到怎樣的結(jié)論.

【答案】分析:首先用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式,利用拋物線的公式求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱軸,構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理求得線段EF、DF的長(zhǎng),再與點(diǎn)E、D到直線的距離比較,得到點(diǎn)E和點(diǎn)D分別到點(diǎn)F的距離等于各自到直線的距離.
最后可猜想:以拋物線上任意一點(diǎn)P為圓心,以PF為半徑的圓與直線y=相切.
解答:解:(1)設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,
且過(guò)點(diǎn)A(-3,0),C(0,3),E(1,0),
由(0,3)在y=ax2+bx+cH.
則c=3.
得方程組,
解得a=-1,b=-2.
∴拋物線的解析式為y=-x2-2x+3.

(2)由y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,
得頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,4),對(duì)稱軸為x=-1.

(3)①連接EF,過(guò)點(diǎn)E作直線y=的垂線,垂足為N,
則EN=HG=
在Rt△FHE中,HE=2,HF=
∴EF=,
∴EF=EN,
∴以E點(diǎn)為圓心,EF為半徑的⊙E與直線y=相切.
②連接DF過(guò)點(diǎn)D作直線的垂線,垂足為M.過(guò)點(diǎn)D作DQ⊥GH垂足Q,
則DM=QG=
在Rt△FQD中,QD=,QF==2.FD=
∴以D點(diǎn)為圓心DF為半徑的⊙D與直線y=相切.
③以拋物線上任意一點(diǎn)P為圓心,以PF為半徑的圓與直線y=相切.
說(shuō)明:解答題只提供了一種答案,如有其他解法只要正確,可參照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)按步驟賦分.
點(diǎn)評(píng):本題考查了用待定系數(shù)法確定拋物線的解析式,及由拋物線的解析式求頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸的方法;
第3問(wèn)利用構(gòu)造直角三角形,勾股定理求線段的長(zhǎng),及定點(diǎn)到定直線的距離的求法;
最后的猜想實(shí)際是說(shuō)明了拋物線是由到定點(diǎn)和定直線距離相等的點(diǎn)的集合.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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