Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，點(diǎn)P在AB上，AP=2，點(diǎn)E、F同時(shí)從點(diǎn)P出發(fā)，分別沿PA、PB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A、B勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)A后立即以原速度沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)停止，點(diǎn)F也隨之停止．在點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，以EF為邊作正方形EFGH，使它與△ABC在線段AB的同側(cè)．設(shè)E、F運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（t＞0），正方形EFGH與△ABC重疊部分的面積為S．
（1）當(dāng)點(diǎn)E由P向A運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，請(qǐng)求出點(diǎn)H恰好落在AC邊上時(shí)，t的值；
（2）當(dāng)0＜t≤2時(shí)，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）設(shè)AC的中點(diǎn)為N，是否存在這樣的t，使△NEF為等腰三角形？若存在，直接寫(xiě)出t的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得t的值；
（2）正方形EFGH與△ABC重疊部分的形狀，依次為正方形、五邊形和梯形；可分三段分別解答：①當(dāng)0＜t≤

6

11

時(shí)；②當(dāng)

6

11

＜t≤

6

5

時(shí)；③當(dāng)

6

5

＜t≤2時(shí)；依次求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）以N為頂點(diǎn)，以F為頂點(diǎn)，以E為頂點(diǎn)，分三種情況討論即可求得t的值．

解答：解：（1）依題意有

2t

2-t

=

6

8

，
解得t=

6

11

；      

（2）當(dāng)正方形EFGH與△ABC重疊部分的形狀為正方形時(shí)，
0＜t≤

6

11

時(shí)，S=2t×2t=4t²；
當(dāng)

6

11

＜t≤

6

5

時(shí)，
S=4t2-

1

2

[2t-

3

4

(2-t)]•

4

3

•[2t-

3

4

(2-t)]
=4t2-

2

3

(

11

4

t-

3

2

)2
=-

25

24

t2+

11

2

t-

3

2

；
當(dāng)

6

5

≤t≤2時(shí)，
S=

1

2

[

3

4

(2-t)+

3

4

(2+t)]•2t=3t；

（3）t的值為

16

5

或2或

42

5

或

22

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了動(dòng)點(diǎn)函數(shù)問(wèn)題，其中應(yīng)用到了相似形、等腰三角形的性質(zhì)、正方形及勾股定理的性質(zhì)，分類(lèi)思想的運(yùn)用，鍛煉了學(xué)生運(yùn)用綜合知識(shí)解答題目的能力．