Question

如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，過D作DE⊥AC交BA的延長線于點F，E為垂足．
（1）求證：DF為⊙O的切線；
（2）若AB=6，DF=4，求FA的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）要想證DF是⊙O的切線，只要連接OD，求證∠ODF=90°即可．
（2）切割線定理可得DF²=FA•FB=AF•（AF+AB），從而求出FA的長．
解答：解：（1）連接OD，AD；
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠B=∠BDO，
∴∠C=∠BDO；
∵DE⊥AC，
∴∠C+∠CDE=90°，
∴∠BDO+∠CDE=90°，
∴∠ODF=90°，
∴DF為⊙O的切線．

（2）∵DF²=FA•FB=AF•（AF+AB），
∴AF•（AF+6）=4×4，
∴AF=2．
點評：本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑），再證垂直即可．