【題目】已知AM∥CN,點B為平面內(nèi)一點,AB⊥BC于B.
(1)如圖1,直接寫出∠A和∠C之間的數(shù)量關(guān)系;
(2)如圖2,過點B作BD⊥AM于點D,求證:∠ABD=∠C;
(3)如圖3,在(2)問的條件下,點E、F在DM上,連接BE、BF、CF,BF平分∠DBC,BE平分∠ABD,若∠FCB+∠NCF=180°,∠BFC=3∠DBE,求∠EBC的度數(shù).
【答案】
(1)∠A+∠C=90°;
(2)解:如圖2,過點B作BG∥DM,
∵BD⊥AM,
∴DB⊥BG,即∠ABD+∠ABG=90°,
又∵AB⊥BC,
∴∠CBG+∠ABG=90°,
∴∠ABD=∠CBG,
∵AM∥CN,
∴∠C=∠CBG,
∴∠ABD=∠C;
(3)解:如圖3,過點B作BG∥DM,
∵BF平分∠DBC,BE平分∠ABD,
∴∠DBF=∠CBF,∠DBE=∠ABE,
由(2)可得∠ABD=∠CBG,
∴∠ABF=∠GBF,
設(shè)∠DBE=α,∠ABF=β,則
∠ABE=α,∠ABD=2α=∠CBG,∠GBF=β=∠AFB,∠BFC=3∠DBE=3α,
∴∠AFC=3α+β,
∵∠AFC+∠NCF=180°,∠FCB+∠NCF=180°,
∴∠FCB=∠AFC=3α+β,
△BCF中,由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°,可得
(2α+β)+3α+(3α+β)=180°,①
由AB⊥BC,可得
β+β+2α=90°,②
由①②聯(lián)立方程組,解得α=15°,
∴∠ABE=15°,
∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°.
【解析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)進行證明即可;(2)先過點B作BG∥DM,根據(jù)同角的余角相等,得出∠ABD=∠CBG,再根據(jù)平行線的性質(zhì),得出∠C=∠CBG,即可得到∠ABD=∠C;(3)先過點B作BG∥DM,根據(jù)角平分線的定義,得出∠ABF=∠GBF,再設(shè)∠DBE=α,∠ABF=β,根據(jù)∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°,可得(2α+β)+3α+(3α+β)=180°,根據(jù)AB⊥BC,可得β+β+2α=90°,最后解方程組即可得到∠ABE=15°,進而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解余角和補角的特征的相關(guān)知識,掌握互余、互補是指兩個角的數(shù)量關(guān)系,與兩個角的位置無關(guān),以及對平行線的判定與性質(zhì)的理解,了解由角的相等或互補(數(shù)量關(guān)系)的條件,得到兩條直線平行(位置關(guān)系)這是平行線的判定;由平行線(位置關(guān)系)得到有關(guān)角相等或互補(數(shù)量關(guān)系)的結(jié)論是平行線的性質(zhì).
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某經(jīng)銷商銷售一種產(chǎn)品,這種產(chǎn)品的成本價為10元/千克,市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),該產(chǎn)品每天的銷售量y(千克)與銷售價x(元/千克,且10≤x≤18)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示:
(1)求y(千克)與銷售價z的函數(shù)關(guān)系式;
(2)該經(jīng)銷商想要每天獲得150元的銷售利潤,銷售價應(yīng)定為多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我市某西瓜產(chǎn)地組織40輛汽車裝運完A,B,C三種西瓜共200噸到外地銷售.按計劃,40輛汽車都要裝運,每輛汽車只能裝運同一種西瓜,且必須裝滿.根據(jù)下表提供的信息,解答以下問題:
西瓜種類 | A | B | C |
每輛汽車運載量(噸) | 4 | 5 | 6 |
每噸西瓜獲利(百元) | 16 | 10 | 12 |
(1)設(shè)裝運A種西瓜的車輛數(shù)為x輛,裝運B種西瓜的車輛數(shù)為y輛,求y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)如果裝運每種西瓜的車輛數(shù)都不少于10輛,那么車輛的安排方案有幾種?并寫出每種安排方案;
(3)若要是此次銷售獲利達到預(yù)期利潤25萬元,應(yīng)采取怎樣的車輛安排方案?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,∠AGF=∠ABC,∠1+∠2=180°.
(1)試判斷BF與DE的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若BF⊥AC,∠2=150°,求∠AFG的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在正方形ABCD中,對角線AC,BD交于點O,點P在線段BC上(不含點B),∠BPE=∠ACB,PE交BO于點E,過點B作BF⊥PE,垂足為F,交AC于點G.
(1) 當(dāng)點P與點C重合時(如圖①).求證:△BOG≌△POE;(4分)
(2)通過觀察、測量、猜想:= ,并結(jié)合圖②證明你的猜想;(5分)
(3)把正方形ABCD改為菱形,其他條件不變(如圖③),若∠ACB=α,求的值.(用含α的式子表示)(5分)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,則該三角形為( )
A. 銳角三角形 B. 直角三角形 C. 鈍角三角形 D. 等腰直角三角形
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,下列的點在第二象限的是( )
A. (2,1) B. (2,-1) C. (-2,1) D. (-2,-1)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(如圖,正方形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,延長CB至點F,使CF=CA,連接AF,∠ACF的平分線分別交AF,AB,BD于點E,N,M,連接EO,已知BD=2 .
(1)求正方形ABCD的邊長;
(2)求OE的長;
(3)①求證:CN=AF;②直接寫出四邊形AFBO的面積.
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