Question

鐘面數(shù)字問題
如圖，鐘面上有1，2，3，…，11，12這12個(gè)數(shù)字．
（1）試在某些數(shù)的前面添加負(fù)號(hào)，使它們的代數(shù)和為零
（2）能否改變鐘面上的數(shù)，比如只剩下6個(gè)偶數(shù)，仍按第（1）小題的要求來做？
[思路探究]
（1）我們先試著選定任意幾個(gè)數(shù)字，在其前面添加負(fù)號(hào)，如
-12-11-10+9+8+7+6-5+4+3+2+1-2．
這當(dāng)然不是我們要的答案，但我們可以將其調(diào)整，比如改變1前面的符號(hào)，得
-12-11-10+9+8+7+6-5+4+3+2-1-0．
用這種方法當(dāng)然可以得到許多答案，但我們并不滿足．我們希望尋找其中的規(guī)律，使我們能找到更多的解答．我們發(fā)現(xiàn)：
在調(diào)整符號(hào)的過程中，若將一個(gè)正數(shù)變號(hào)，12個(gè)數(shù)的代數(shù)和就減少這個(gè)正數(shù)的兩倍；若將一個(gè)負(fù)數(shù)變號(hào)，12個(gè)數(shù)的代數(shù)和就增加這個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值的兩倍．
要使12個(gè)數(shù)的代數(shù)和為零，其中正數(shù)的和的絕對(duì)值必須與負(fù)數(shù)的和的絕對(duì)值相等，均為12個(gè)數(shù)之和的-半，即等于39．
由此，我們只要找到幾個(gè)和為39的數(shù)，將這些數(shù)添上負(fù)號(hào)即可．
由于最大3個(gè)數(shù)之和為33＜39，因此必須再添上一個(gè)6才有解答，所以添加負(fù)號(hào)的數(shù)至少要有4個(gè)．同理可知，添加負(fù)號(hào)的數(shù)最多不超過8個(gè)．
根據(jù)以上規(guī)律，就能在很短的時(shí)間內(nèi)得到許多解答，但是要寫出所有解答，還必須把答案作適當(dāng)?shù)姆诸悾�本題共有124個(gè)解答，親愛的讀者，你能寫出這124個(gè)解答來嗎？
（2）因?yàn)?+4+6+8+10+12-42，它的一半為21，而奇數(shù)不可能通過偶數(shù)求和得到，所以只剩下6個(gè)偶數(shù)時(shí)，不能按第（1）小題的要求來做．

Answer 1

解：（1）-1-2-3-5-4+6-7-8-9+10+11+12=0；
（2）不能．因?yàn)?+4+6+8+10+12=42，若要改變這些數(shù)前的符號(hào)使之代數(shù)和為0，則正數(shù)、負(fù)數(shù)之和需為21和-21，易知偶數(shù)之和為偶數(shù)不為奇數(shù)，所以不能改變鐘面上的數(shù)…．
由于最大的三個(gè)數(shù)12，11，10其和33＜39，因此必須再增加一個(gè)數(shù)6，才有解答（12，11，10，6），也就是說：添加負(fù)號(hào)的數(shù)至少要有四個(gè)；反過來，根據(jù)對(duì)偶律得：添加負(fù)號(hào)的數(shù)最多不超過八個(gè)．掌握了上述幾條規(guī)律，我們就能夠在很短的時(shí)間內(nèi)得到許多解答，其總數(shù)是124個(gè)．
分析：（1）欲使十二個(gè)數(shù)的和為零，其中正數(shù)的和的絕對(duì)值與負(fù)數(shù)的和的絕對(duì)值必須相等，先算出總和，再取總和的一半，在和為一半的數(shù)前加正號(hào)，其余的數(shù)前添負(fù)號(hào)即可解決問題；
（2）此外我們還可發(fā)現(xiàn)，由于最大的三個(gè)數(shù)12，11，10其和33＜39，因此必須再增加一個(gè)數(shù)6，才有解答（12，11，10，6），也就是說：添加負(fù)號(hào)的數(shù)至少要有四個(gè)；反過來，根據(jù)對(duì)偶律得：添加負(fù)號(hào)的數(shù)最多不超過八個(gè)．掌握了上述幾條規(guī)律，我們就能夠在很短的時(shí)間內(nèi)得到許多解答，其總數(shù)是124個(gè)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算．認(rèn)真審題，找出規(guī)律：5個(gè)正數(shù)絕對(duì)值的和等于1，2，3，4，5，…，12這12個(gè)數(shù)的和的一半，是解決此題的關(guān)鍵所在．