Question

（2013•閘北區(qū)一模）已知：如圖，二次函數(shù)y=

2

3

x2-

4

3

x-

16

3

的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），拋物線的頂點(diǎn)為Q，直線QB與y軸交于點(diǎn)E．
（1）求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）在x軸上方找一點(diǎn)C，使以點(diǎn)C、O、B為頂點(diǎn)的三角形與△BOE相似，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)解析式求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；設(shè)直線BQ：y=kx+b（k≠0）．則把B、Q的坐標(biāo)代入該解析式列出關(guān)于系數(shù)k、b的方程組，通過解方程組即可求得它們的值；最后令x=0，則y=-8，即E（0，-8）；
（2）需要分類討論：①如圖1，若∠COB=∠EOB=90°；②如圖1，若∠CBO=∠EOB=90°；③如圖2，若∠OCB=∠BOE=90°．由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求得相關(guān)線段的長度．

解答：解：（1）令y=0，得

2

3

x2-

4

3

x-

16

3

=0，
解方程，得
x₁=-2，x₂=4，
∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，
∴B（4，0）
又y=

2

3

(x-1)2-6，
∴Q（1，-6）．
設(shè)直線BQ：y=kx+b（k≠0）．則把B、Q的坐標(biāo)代入，得

4k+b=0 k+b=-6

解得

k=2 b=-8

，
∴直線BQ的解析式是：y=2x-8，
∴E（0，-8）；

（2）由（1）知，B（4，0），E（0，-8），則OE=8，OB=4．
①如圖1，若∠COB=∠EOB=90°．
當(dāng)△BOC∽△BOE時(shí)，

BO

BO

=

OC

OE

=1，即OC=OE=8，則C₁（0，8）；
當(dāng)△COB∽△BOE時(shí)，

BO

EO

=

CO

BO

，即

4

8

=

CO

4

，則CO=2，故C₂（0，2）；
②如圖1，若∠CBO=∠EOB=90°．
當(dāng)△CBO∽△BOE時(shí)，

CB

BO

=

BO

OE

，即

CB

4

=

4

8

，解得，CB=2，故C₃（4，2）；
當(dāng)△OBC∽△BOE時(shí)，

OB

BO

=

BC

OE

=1，即BC=OE=8，故C₄（4，8）；
③如圖2，若∠OCB=∠BOE=90°，設(shè)C（x，y）．
△OCB∽△BOE時(shí)，

OC

BO

=

CB

OE

，即

OC

4

=

CB

8

，或

OC

CB

=

1

2

  ①．
∵直角△BOC中，根據(jù)勾股定理知OC²+BC²=OB²=16，②
∴由①②得，OC=

4 5

5

，BC=

8 5

5

OC•BC=

32

5

．
∵

1

2

OB•y=

1

2

OC•BC，
∴y=

8

5

，
∴x=

4

5

，即C₅（

4

5

，

8

5

）．
同理，當(dāng)△BCO∽△BOE時(shí)，C₆（

16

5

，

8

5

）．
綜上所述，符合條件的點(diǎn)C的坐標(biāo)是：
C₁（0，8），C₂（0，2），C₃（4，2），C₄（4，8），C₅（

4

5

，

8

5

），C₆（

16

5

，

8

5

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)以及二次函數(shù)的綜合題．解答（2）題時(shí)，要分類討論，以防漏解．