Question

在△ABC中，若∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c，則有結(jié)論：
a²=b²+c²-2bccosA
b²=a²+c²-2accosB
c²=a²+b²-2abcosC；
（Ⅰ）上面的結(jié)論即為著名的余弦定理，試用文字語言表述余弦定理：

 

；
試用余弦定理解答下面的問題（Ⅱ）：
（Ⅱ）過邊長為1的正三角形的中心O引兩條夾角為120°的射線，分別與正三角形的邊交于M、N兩點(diǎn)，試求線段MN長的取值范圍（借助圖解答）．

Answer 1

分析：（1）等號(hào)左邊是一邊的平方，等號(hào)右邊前兩項(xiàng)是其他兩邊的平方和減去2倍的這2邊與它們夾角余弦值的積．
（2）易得△CNO≌△AMO，那么可得到相對(duì)應(yīng)的邊相等，利用（1）的結(jié)論在△MCN中表示出MN的值，利用二次函數(shù)求得最值，利用所給范圍得到相應(yīng)的范圍值．

解答：解：（Ⅰ）三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍．

（Ⅱ）如圖，設(shè)AM=x，則CN=x，MC=1-x，0≤x≤1，
在△MCN中，∠MCN=60°，
由余弦定理，得
MN=

(1-x)2+x2-2(1-x)•x•cos60°

，
=

3x2-3x+1

=

3(x- 1 2 )2+ 1 4

，
∵0≤x≤1，
∴當(dāng)x=

1

2

時(shí)，MN取最小值

1

2

，
當(dāng)x=0，1時(shí)，MN取最大值1，
∴

1

2

≤MN≤1．

點(diǎn)評(píng)：應(yīng)先找易表示出各邊的，所求線段所在的三角形，注意運(yùn)用已得到的結(jié)論進(jìn)行證明．