Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，以AC為直徑的⊙O交斜邊AB于點E，線段BC上有一點D滿足OD∥AB．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若CO=2，DE=，求斜邊AB的長．

Answer 1

（1）證明：連接OE，
∵OE=OA，
∴∠3=∠A，
∵OD∥AB，
∴∠1=∠A，∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
在△CDO和△EDO中，
，
∴△CDO≌△EDO（SAS），
∴∠DEO=∠BCA=90°，
∵OE為半徑，
∴DE是⊙O切線．

（2）解：∵CO=OE=2，DE=，∠DEO=90°，
由勾股定理得：DC==3，
∵OC=OA，OD∥AB，
∴CD=BD，
∴AB=2CD=2×3=6．
分析：（1）求出△CDO≌△EDO，推出∠DEO=90°，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）根據(jù)勾股定理求出OD，得出OD是三角形CBA的中位線，根據(jù)三角形中位線求出即可．
點評：本題考查了全等三角形性質(zhì)和判定，三角形中位線，切線的判定，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學生的推理和計算能力．