Question

26、如圖，已知∠AOB=120°，OM平分∠AOB，將正三角形的一個(gè)頂點(diǎn)P放在射線OM上，兩邊分別與OA、OB交于點(diǎn)C、D．

（1）如圖①若邊PC和OA垂直，那么線段PC和PD相等嗎？為什么？
（2）如圖②將正三角形繞P點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)一角度，設(shè)兩邊與OA、OB分別交于C′，D′，那么線段PC′和PD′相等嗎？為什么？

Answer 1

分析：（1）PC、PD相等，可通過(guò)△OCP≌△ODP來(lái)實(shí)現(xiàn)；若PC與OA垂直，可求得∠OPC=∠OPD=30°，而OM平分∠AOB，加上公共邊OP，即可證得所求的三角形全等，由此得證．
（2）按照（1）的思路，可通過(guò)△PCC′≌△PDD′來(lái)得到所求的結(jié)論；由（1）得：∠PCC′=∠PDD′=90°，且PC=PD，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：∠CPC′=∠DPD′，由此可證得所求的三角形全等，即可得證．

解答：解：（1）PC和PD相等．
理由：∵OM平分∠AOB，
∴∠POC=∠POD=60°，
∵PC⊥OA，
∴∠CPO=180°-90°-60°=30°，
∵∠CPD=60°，
∴∠DPO=∠CPD-∠CPO=30°，
∴∠CPO=∠DPO；
∵PO=PO，
∴△PCO≌△PDO（ASA），
∴PC=PD．

（2）PC′和PD′相等．
理由：由（1）得△PCO≌△PDO，
∴PC=PD，∠PCC′=∠PDD′=90°，
∵∠CPD=∠C′PD′，
∴∠CPD-∠C′PD=∠C′PD′-∠C′PD，
即∠CPC′=∠DPD′，
∴根據(jù)“ASA”，可以得到△PCC′≌△PDD′．
∴PC′=PD′．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)以及角平分線的定義及等邊三角形的性質(zhì)；證明三角形全等是正確解答本題的關(guān)鍵．