【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A﹣3,0),B1,0),C0,3)三點(diǎn),其頂點(diǎn)為D,對(duì)稱軸是直線llx軸交于點(diǎn)H

1)求該拋物線的解析式;

2)若點(diǎn)P是該拋物線對(duì)稱軸l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求PBC周長(zhǎng)的最小值;

3)如圖(2),若E是線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)( EA、D不重合),過E點(diǎn)作平行于y軸的直線交拋物線于點(diǎn)F,交x軸于點(diǎn)G,設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m,ADF的面積為S

①求Sm的函數(shù)關(guān)系式;

S是否存在最大值?若存在,求出最大值及此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo); 若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)拋物線的解析式為:y=﹣x2﹣2x+3;(2);(3最大值為1,此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(﹣2,2).

【解析】(1)根據(jù)函數(shù)圖象經(jīng)過的三點(diǎn),用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式即可;

(2)根據(jù)BC是定值,得到當(dāng)PB+PC最小時(shí),△PBC的周長(zhǎng)最小,根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求得相應(yīng)線段的長(zhǎng)即可;

(3)設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m,表示出E(m,2m+6),F(xiàn)(m,﹣m22m+3),最后表示出EF的長(zhǎng),從而表示出S于m的函數(shù)關(guān)系,然后求二次函數(shù)的最值即可.

解:(1)由題意可知: ,解得:

∴拋物線的解析式為:y=x22x+3;

2)∵△PBC的周長(zhǎng)為:PB+PC+BC

BC是定值,

∴當(dāng)PB+PC最小時(shí),△PBC的周長(zhǎng)最小,

∵點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸I對(duì)稱,

∴連接ACl于點(diǎn)P,即點(diǎn)P為所求的點(diǎn)

AP=BP

∴△PBC的周長(zhǎng)最小是:PB+PC+BC=AC+BC

A(﹣3,0),B1,0),C0,3),

AC=3BC=;

3)①∵拋物線y=x22x+3頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(﹣14

A(﹣3,0

∴直線AD的解析式為y=2x+6

∵點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m

Em,2m+6),Fm,﹣m22m+3

EF=m22m+3﹣(2m+6=m24m3

∴S=S△DEF+S△AEF=EFGH+EFAC=EFAH=(﹣m24m3×2=m24m3;

S=m24m3

=﹣(m+22+1

∴當(dāng)m=2時(shí),S最大,最大值為1

此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(﹣2,2).

“點(diǎn)睛”此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的最值,根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)表示出線段的長(zhǎng)是表示出三角形的面積的基礎(chǔ).

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