【題目】如圖1,ABC中,AGBC于點G,以A為直角頂點,分別以AB、AC為直角邊,向ABC作等腰RtABE和等腰RtACF,過點E、F作射線GA的垂線,垂足分別為P、Q

1)求證:⊿AEP≌⊿BAG;

2)試探究EPFQ之間的數(shù)量關系,并證明你的結論;

3)如圖2,若連接EFGA的延長線于H,由(2)中的結論你能判斷EHFH的大小關系嗎?并說明理由;

4)在(3)的條件下,若BC=AG=10,請直接寫出SAEF= .

【答案】1)答案見解析;(2)答案見解析;(3)答案見解析;(450.

【解析】

1)根據(jù)等腰RtABE的性質(zhì),求出∠EPA=EAB=AGB=90°,∠PEA=BAG,根據(jù)AAS推出EPA≌△AGB;(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出EP=AG,同理可得FQA≌△AGC,即可得出AG=FQ,最后等量代換即可得出答案;(3)求出∠EPH=FQH=90°,根據(jù)AAS推出EPH≌△FQH,即可得出EHFH的大小關系;(4)根據(jù)全等三角形EPH≌△FQH,EPA≌△AGB,FQA≌△AGC,推出SFQASAGCSFQH=SEPH,SEPA=SAGB,即可求出SAEF=SABC,根據(jù)三角形面積公式求出即可.

解:(1)如圖1,∵∠EAB=90°,EPAG,AGBC

∴∠EPA=EAB=AGB=90°,

∴∠PEA+EAP=90°,∠EAP+BAG=90°,

∴∠PEA=BAG,

EPAAGB中, ,

∴△EPA≌△AGBAAS),

2EP=FQ,

證明:由(1)可得,EPA≌△AGB,

EP=AG,

同理可得,FQA≌△AGC,

AG=FQ,

EP=FQ

3EH=FH,

理由:如圖,∵EPAG,FQAG

∴∠EPH=FQH=90°,

EPHFQH中, ,

∴△EPH≌△FQHAAS),

EH=FH

(4)∵△EPH≌△FQHEPA≌△AGB,FQA≌△AGC

SFQA=SAGC,SFQH=SEPH,SEPA=SAGB

SAEF=SEPA+SFQA=SAGB+SAGC=SABC=×BC×AG=×10×10=50
故答案為:50

練習冊系列答案
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