Question

【題目】 如圖，點P在曲線y=（x＜0）上，PA⊥x軸于點A，點B在y軸正半軸上，PA=PB，OA、OB的長是方程t2-8t+12=0的兩個實數(shù)根，且OA＞OB，點C是線段PB延長線上的一個動點，△ABC的外接圓⊙M與y軸的另一個交點是D．

（1）填空：OA=______；OB=______；k=______．

（2）設點Q是⊙M上一動點，若圓心M在y軸上且點P、Q之間的距離達到最大值，則點Q的坐標是______；

（3）試問：在點C運動的過程中，BD-BC的值是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請給出合理的解釋．

Answer 1

【答案】（1）6，2，-60；（2）（，-3-8）；（3）是，定值為4

【解析】

（1）求出點A、B的坐標為（-6，0）、（0，2），設點P（-6，），由PA=PB，即可求解；

（2）先求出PM解析式，當PQ過圓心M時，點P、Q之間的距離達到最大值，由兩點距離公式可求解；

（3）BD-BC=2r-2rcos∠DBC，即可求解．

（1）t2-8t+12=0，

解得：t=2或6，

即OA=6，OB=2，即點A、B的坐標為（-6，0）、（0，2），

設點P（-6，），

由PA=PB得：36+（2+）2=（）2，

解得：k=-60，

故點P（-6，10），

故答案為：6，2，-60；

（2）當PQ過圓心M時，點P、Q之間的距離達到最大值，

∵AM2=AO2+OM2，

∴AM2=36+（AM-2）2，

∴AM=10=BM

∴點M坐標為（0，-8）

設直線PM的解析式為：y=kx-8

∴10=-6k-8

∴k=-3

∴直線PM的解析式為：y=-3x-8

∴設點Q（a，-3a-8）（a＞0）

∵MQ=10=

∴a=

∴點Q坐標為（，-3-8）

故答案為：（，-3-8）

（3）是定值，理由：

連接CD，過點P作PH⊥y軸，

∵tan∠PBH===tan∠DBC，則cos∠DBC=，

∴BD-BC=2r-2rcos∠DBC=2r（1-）=4．