Question

【題目】如圖，在斜邊長為1的等腰直角三角形OAB中，作內接正方形A1B1C1D1；在等腰直角三角形OA1B1中，作內接正方形A2B2C2D2；在等腰直角三角形OA2B2中，作內接正方形A3B3C3D3；……；依次作下去，則第n個正方形AnBnCnDn的邊長是________．

Answer 1

【答案】

【解析】

過O作OM垂直于AB，交AB于點M，交A1B1于點N，由三角形OAB與三角形OA1B1都為等腰直角三角形，得到M為AB的中點，N為A1B1的中點，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得出OM為AB的一半，由AB＝1求出OM的長，再由ON為A1B1的一半，即為MN的一半，可得出ON與OM的比值，求出MN的長，即為第1個正方形的邊長，同理求出第2個正方形的邊長，依此類推即可得到第n個正方形的邊長．

解：過O作OM⊥AB，交AB于點M，交A1B1于點N，如圖所示：

∵正方形A1B1C1D1，

∴A1B1∥AB，∴ON⊥A1B1，
∵△OAB為斜邊為1的等腰直角三角形，
∴OM＝AB＝，
又∵△OA1B1為等腰直角三角形，
∴ON＝A1B1＝MN，
∴ON：OM＝1：3，

∴ON=OM=，
∴第1個正方形的邊長A1C1＝MN＝OM＝×＝，
同理第2個正方形的邊長A2C2＝ON＝×＝，
則第n個正方形AnBnDnCn的邊長．

故答案為：．