Question

如圖，以點M（5，3）為圓心的⊙M切y軸于點A，與x軸交于B（1，0），C兩點（點B在點C的左側(cè)），直線l過圓心M且垂直于y軸，點P是直線l上的一個動點，如果△PAB的周長最小，那么此時點P的坐標是

（5，

4

3

）

．

Answer 1

分析：連接AM，由切線的性質(zhì)可知，AM⊥y軸，根據(jù)M點的坐標可求出AM及MD的長，作點A關(guān)于直線l的對稱點A′，連接A′B，則線段A′B的長即為△PAB的最小周長，再用待定系數(shù)法求出直線A′B的解析式，得出此直線與直線l的交點坐標即可．

解答：解：連接AM，
∵⊙M切y軸于點A，
∴AM⊥y軸，
∵M（5，3），l⊥x軸，
∴AM=5，MD=3，直線l的解析式為l=5，
作點A關(guān)于直線l的對稱點A′，則A′（10，3），連接A′B，則線段A′B的長即為△PAB的最小周長，
設(shè)過點A′、B的直線解析式為y=kx+b（k≠0），則

10k+b=3 k+b=0

，解得

k= 1 3 b=- 1 3

，
∴此直線的解析式為：y=

1

3

x-

1

3

，
∴當x=5時，y=

1

3

×5-

1

3

=

4

3

，
∴點P的坐標是（5，

4

3

）．
故答案為：（5，

4

3

）．

點評：本題考查的是軸對稱-最短路線問題，熟知“兩點之間，線段最短”的知識是解答此題的關(guān)鍵．