Question

如圖，拋物線y=a(x-1)2-

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3

經(jīng)過△ABC的三個頂點，已知點A（-1，0），點C在y軸上，且BC∥x軸．
（1）求a的值；
（2）判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（3）探究：
①若點P是拋物線對稱軸上的一個動點，求△PAC周長的最小值；
②若點P是拋物線對稱軸且在直線BC上方的一個動點，是否存在點P使△PAB是等腰三角形．若存在，直接寫出所有符合條件的點P坐標(biāo)；不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）本題需先把點A的坐標(biāo)代入拋物線的解析式即可得出a的值；
（2）本題需先根據(jù)x=0，得出AC=2，再根據(jù)對稱性可得點B的坐標(biāo)，求出BC的值，從而證出AC=BC，即可得出△ABC是等腰三角形；
（3）①本題須先根據(jù)題意得出直線AB與對稱軸的交點為點P時，△PAC周長的最小，再求出AC+AB的值即可；
②本題需分當(dāng)PA=AB時，當(dāng)PB=AB時，當(dāng)PA=PB時三種情況進行討論即可得出點P坐標(biāo)．

解答：解：（1）將點A（-1，0）代入拋物線y=a(x-1)2-

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3

，
得：0=a(-1-1)2-

4 3

3

，
解得a=

3

3

；

（2）△ABC是等腰三角形，
令x=0，則y=

3

3

(0-1)2-

4 3

3

=-

3

，
∴點C（0，-

3

），
∴在Rt△AOC中，AC=

OA2+OC2

=2，
由對稱性可得點B（2，-

3

），
∴BC=2，
∴AC=BC，即△ABC是等腰三角形；

（3）①由于點B、C關(guān)于拋物線對稱軸對稱，
所以取直線AB與對稱軸的交點為點P時，
△PAC周長的最小，△PAC周長=AC+AB=2+2

3

，
②當(dāng)PA=AB時，點P坐標(biāo)為(1，2

2

)，
當(dāng)PB=AB時，點P坐標(biāo)為(1，

11

-

3

)，
當(dāng)PA=PB時，點P坐標(biāo)為（1，0）．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)的綜合知識，在解題時要能靈活應(yīng)用二次函數(shù)和等腰三角形的有關(guān)知識和性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．