Question

（2013•椒江區(qū)一模）請仔細閱讀下面兩則材料，然后解決問題：
材料1：小學時我們學過，任何一個假分數都可以化為一個整數與一個真分數的和的形式，同樣道理，任何一個分子次數不低于分母次數的分式都可以化為一個整式與另一個分式的和（或差）的形式，其中另一個分式的分子次數低于分母次數．

x2-2x-4

x-1

=

(x2-x)+(-x+1)+(-5)

x-1

=(x-1)-

5

x-1

如：對于式子2+

3

1+x2

，因為x²≥0，所以1+x²的最小值為1，所以

3

1+x2

的最大值為3，所以2+

3

1+x2

的最大值為5．根據上述材料，解決下列問題：問題1：把分式

4x2+8x+7

1 2 x2+x+1

 化為一個整式與另一個分式的和（或差）的形式，其中另一

4x2+8x+7

1 2 x2+x+1

個分式的分子次數低于分母次數．
問題2：當x的值變化時，求分式8-

2

(x+1)2+1

的最小值．

Answer 1

分析：問題1：根據分式的性質，將分子分母分別乘以4，再將分子轉化為x²+2x+2的倍數，然后約分計算；
問題2：根據問題1的結果，通過分母分析分式的最小值．

解答：問題1：解：原式=

8x2+16x+16-2

x2+2x+2

=8-

2

x2+2x+2

=8-

2

(x+1)2+1

；
問題2：解：∵（x+1）²≥0，
∴（x+1）²+1的最小值為1，
∴

2

(x+1)2+1

的最大值為2，
∴8-

2

(x+1)2+1

的最小值為6，
即

4x2+8x+7

1 2 x2+x+1

的最小值為6．

點評：本題主要考查了分式的混合運算，適當轉化分子、分母是解題的關鍵．