Question

（2012•閘北區(qū)一模）已知：如圖，直線y=x-15與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B．拋物線y=-

1

3

x2+bx+c經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)．
（1）求這個(gè)拋物線的解析式；
（2）若這拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)C．對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)H，求△DAC的面積；
（3）若點(diǎn)E是線段AD的中點(diǎn)．CE與DH交于點(diǎn)G，點(diǎn)P在y軸的正半軸上，△POH是否能夠與△CGH相似？如果能，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）分別把x=0和y-0代入一次函數(shù)的解析式，求出A、B的坐標(biāo)，代入拋物線得出方程組，求出方程組的解，即可得出拋物線的解析式；
（2）求出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)和C的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式求出即可；
（3）求出GH、HO、CH的值，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出兩個(gè)比例式，代入即可求出P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵y=x-15，
y=0時(shí)，0=x-15，
∴x=15，
當(dāng)x=0時(shí)，y=-15，
∴A（15，0），B（0，-15），
代入得

- 1 3 ×152+15b+c=0 c=-15

，
解得

b=6 c=-15

，
∴拋物線的解析式：y=-

1

3

x²+6x-15．

（2）拋物線的解析式可變形為y=-

1

3

(x-9)2+12，
∴頂點(diǎn)D坐標(biāo)為（9，12），
設(shè)y=0，則-

1

3

(x-9)2+12=0，
∴（x-9）²=36．
∴x₁=3，x₂=15，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0），
∴S△DAC=

1

2

DH•AC=

1

2

×12×12=72．

（3）∵點(diǎn)E是線段AD的中點(diǎn)，點(diǎn)H是線段AC的中點(diǎn)，．
∴點(diǎn)G是△DAC的重心．如圖：

∵頂點(diǎn)D坐標(biāo)為（9，12），
∴GH=

1

3

DH=4，
∴HO=9，CH=6．
設(shè)△POH∽△GHC時(shí)，

PO

GH

=

HO

CH

，
∴

PO

4

=

9

6

∴PO=6，
∴P₁（0，6）；
△POH∽△CHG時(shí)，

PO

CH

=

HO

GH

，

PO

6

=

9

4

，
∴PO=

27

2

．
∴P2(0，

27

2

)．
∴△POH能夠與△CHG相似，相似時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P₁（0，6）或P2(0，

27

2

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的面積，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)，相似三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用，主要培養(yǎng)了學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，題目比較典型，但有一定的難度，注意：分類討論思想的運(yùn)用．