Question

【題目】如圖，頂點(diǎn)為D的拋物線y＝﹣x2+x+4與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于兩點(diǎn)B、C（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左邊），點(diǎn)A與點(diǎn)E關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，點(diǎn)B、E在直線y＝kx+b（k，b為常數(shù)）上．

(1)求k，b的值；

(2)點(diǎn)P為直線AE上方拋物線上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作AE的垂線交AE于點(diǎn)F，點(diǎn)G為y軸上任意一點(diǎn)，當(dāng)△PBE的面積最大時(shí)，求PF+FG+OG的最小值；

(3)在(2)中，當(dāng)PF+FG+OG取得最小值時(shí)，將△AFG繞點(diǎn)A按順時(shí)方向旋轉(zhuǎn)30°后得到△AF1G1，過點(diǎn)G1作AE的垂線與AE交于點(diǎn)M．點(diǎn)D向上平移個(gè)單位長度后能與點(diǎn)N重合，點(diǎn)Q為直線DN上任意一點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在一點(diǎn)S，使以S、Q、M、N為頂點(diǎn)且MN為邊的四邊形為菱形？若存在，直接寫出點(diǎn)S的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)k=，b=1；(2)PF+FG+OG的最小值2+3；(3)存在，點(diǎn)S的坐標(biāo)為：（﹣1，﹣1），（﹣1，9），（7，4）．

【解析】

（1）由題意得：A（0，4）、B（-2，0）、D（3，）、C（8，0）、E（6，4），則：過BE的直線為：y=x+1；

（2）設(shè)：P橫坐標(biāo)為m，則P（m，-m2++4），H（m，m+1），則：PH=-m2++4-（m+1）=-（x-2）2+4，當(dāng)x=2時(shí)，PH取得最大值，此時(shí)△PEB的面積也取得最大值；構(gòu)造與y軸夾角為45度的直線OR，如圖所示，過點(diǎn)G作OR的垂線交OR于點(diǎn)R，則：RG=，則：PF+FG+OG=PF+FG+GR，當(dāng)F、G、R三點(diǎn)共線時(shí)，FG+GR有最小值，即可求解；

（3）存在．當(dāng)四邊形為菱形，分在MNQ1S1的位置時(shí)、在MNQ2S2的位置時(shí)、在MNQ3S3的位置時(shí)三種情況分別求解．

(1)由題意得：A（0，4）、B（﹣2，0）、D（3，）、C（8，0）、E（6，4），

則：過BE的直線為：y＝x+1；

(2)延長PF交BE于點(diǎn)H，

設(shè)：P橫坐標(biāo)為m，則P（m，﹣m2++4），H（m， m+1），

則：PH＝﹣m2++4﹣（m+1）＝﹣（x﹣2）2+4，

當(dāng)x＝2時(shí)，PH取得最大值，此時(shí)△PEB的面積也取得最大值，

此時(shí)，P（2，6）、F（2，4），PF＝2，

構(gòu)造與y軸夾角為45度的直線OR，如圖所示，過點(diǎn)G作OR的垂線交OR于點(diǎn)R，

則：RG＝，∴PF+FG+OG＝PF+FG+GR，

當(dāng)F、G、R三點(diǎn)共線時(shí)，FG+GR有最小值，

在Rt△AGF中，AF＝AG＝2，則：GF＝2，

在Rt△ROG中，RO＝RG，OG＝2，則：RG＝，

FG+GR＝2+＝3，

故：PF+FG+OG的最小值2+3；

(3)存在．如圖所示：

△AFG繞點(diǎn)A按順時(shí)方向旋轉(zhuǎn)30°后得到△AF1G1，

在Rt△G1AM中，AG1＝2，∠AG1M＝30°，

則：AM＝1，∴M（﹣1，4），

點(diǎn)D向上平移個(gè)單位長度后能與點(diǎn)N重合，則：N（3，7），

則：MN＝＝5，

當(dāng)四邊形為菱形，在MNQ1S1的位置時(shí)，MS1＝MN＝5，則點(diǎn)S1（﹣1，﹣1），

當(dāng)四邊形為菱形，在MNQ2S2的位置時(shí)，MS2＝MN＝5，則點(diǎn)S2（﹣1，9），

當(dāng)四邊形為菱形，在MNQ3S3的位置時(shí)，點(diǎn)S3與點(diǎn)M關(guān)于對稱軸對稱，則點(diǎn)S3（7，4），

故：所求點(diǎn)S的坐標(biāo)為：（﹣1，﹣1），（﹣1，9），（7，4）．