Question

已知：一次函數(shù)y=

1

2

x+3的圖象與正比例函數(shù)y=kx的圖象相交于點(diǎn)A（a，1）．
（1）求a的值及正比例函數(shù)y=kx的解析式；
（2）點(diǎn)P在坐標(biāo)軸上（不與點(diǎn)O重合），若PA=OA，直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）直線x=m與一次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)B，與正比例函數(shù)圖象交于點(diǎn)C，若△ABC的面積記為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式（寫出自變量的取值范圍）．

Answer 1

分析：（1）將A（a，1）代入一次函數(shù)y=

1

2

x+3求出a的值，再將A點(diǎn)坐標(biāo)代入正比例函數(shù)解析式求出k的值，從而得到正比例函數(shù)解析式；
（2）分兩種情況：P在x軸上和P在y軸上，令PA=OA即可解答．
（3）依題意，得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，

1

2

m+3），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，-

1

4

m），作AH⊥BC于點(diǎn)H，H的坐標(biāo)為（m，1）．然后分兩種情況討論：（ⅰ）當(dāng)m＜-4時(shí)，（ⅱ）當(dāng)m＞-4時(shí)．兩種情況下，分別求出BC、AH的表達(dá)式，代入計(jì)算即可．

解答：解：（1）∵一次函數(shù)y=

1

2

x+3的圖象與正比例函數(shù)y=kx的圖象相交于點(diǎn)
A（a，1），
∴

1

2

a+3=1．
解得a=-4．（1分）
∴A（-4，1）．
∴-4k=1．
解得k=-

1

4

．
∴正比例函數(shù)的解析式為y=-

1

4

x；

（2）如圖1，P₁（-8，0）或P₂（0，2）；

（3）依題意，得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，

1

2

m+3），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，-

1

4

m）．
作AH⊥BC于點(diǎn)H，H的坐標(biāo)為（m，1）．
以下分兩種情況：
（ⅰ）當(dāng)m＜-4時(shí)，
BC=-

1

4

m-（

1

2

m+3）
=-

3

4

m-3．
AH=-4-m．
則S_△ABC=

1

2

BC•AH
=

1

2

（-

3

4

m-3）（-4-m）
=

3

8

m²+3m+6；
（ⅱ）當(dāng)m＞-4時(shí)，
BC=（

1

2

m+3）+

1

4

m=

3

4

m+3．
AH=m+4．
則S_△ABC=

1

2

BC•AH
=

1

2

（

3

4

m+3）（4+m）
=

3

8

m²+3m+6；
綜上所述，S_△ABC=

3

8

m²+3m+6（m≠-4）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)綜合題，涉及函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、三角形的面積與坐標(biāo)之間的關(guān)系、同時(shí)考查了分類討論與數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．