Question

如圖，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．
（1）實(shí)踐與操作：利用尺規(guī)按下列要求作圖，并在圖中標(biāo)明相應(yīng)的字母（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）．
①作△ABC的外接圓，圓心為O；
②以線段AC為一邊，在AC的右側(cè)作等邊△ACD；
③連接BD，交⊙O于點(diǎn)E，連接AE，
（2）綜合與運(yùn)用：在你所作的圖中，若AB=4，BC=2，則：
①AD與⊙O的位置關(guān)系是

 

．
②線段AE的長(zhǎng)為

 

．

Answer 1

分析：（1）①以AB為直徑作圓O即可；
②分別以A、C為圓心，AC長(zhǎng)為半徑作弧交于點(diǎn)D，連接AD，CD即可；
③根據(jù)題意連接，找到交點(diǎn)即可．
（2）①可證∠BAD=90°，由切線的判定得出AD與⊙O的位置關(guān)系．
②根據(jù)三角形的面積公式即可求出線段AE的長(zhǎng)．

解答：解：評(píng)分說(shuō)明：第①小題（2分），第②小題（2分），第③小題（1分）．
（1）如圖．若考生作兩條邊或三條邊的垂直平分線不扣分．

（2）①∵AB=4，BC=2，△ACD是等邊三角形，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=30°+60°=90°，
∴AD與⊙O的位置關(guān)系是 相切．
②AD=AC=AB•

3

2

=2

3

，
BD=

AB2+AD2

=2

7

，
AE=

1

2

AB•AD÷（

1

2

BD）=

4

7

21

．
故線段AE的長(zhǎng)為

4

7

21

．
故答案為：相切． 

4

7

21

．

點(diǎn)評(píng)：考查了直角三角形的外接圓，等邊三角形的作法，切線的判定，勾股定理及三角形面積公式，綜合性較強(qiáng)．