【題目】如圖,已知,正方形ABCD和一個圓心角為45°的扇形,圓心與A點重合,此扇形繞A點旋轉(zhuǎn)時,兩半徑分別交直線BCCD于點PK

1)當點P、K分別在邊BCCD上時,如圖(1),求證:BP+DKPK

2)當點P、K分別在直線BCCD上時,如圖(2),線段BP、DK、PK之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系,請直接寫出結(jié)論.

3)在圖(3)中,作直線BD交直線APAKM、Q兩點.若PK5,CP4,求PM的長.

【答案】1)證明見解析;(2BPDK+PK,理由見解析;(3PM的長是

【解析】

1)延長CDN,使DN=BP,連接AN,根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定SAS證△ABP≌△ADN,推出AN=AP,∠NAD=PAB,求出∠NAK=KAP=45°,根據(jù)SAS證△NAK和△KAP全等即可;
2)在BC上截取BN=DK,連接AN,與(1)類似證△ADK≌△ABN和△KAP≌△NAP,推出BN=DKNP=PK即可;
3)在DC上截取DN=BP,連接AN,與(1)類似證△ADN≌△ABP和△KAP≌△KAN,推出BP=DN,NK=PK,得出DK=PB+PK,求出正方形的邊長,根據(jù)勾股定理求出ANAK、AP,求出∠ABM=ACK=135°,∠PAB=CAK,證△MAB和△KAC相似,得出比例式,代入求出即可.

1)證明:延長CDN,使DNBP,連接AN

∵正方形ABCD,

∴∠ABP=∠ADC90°=∠BADADAB,

∴∠ADN90°=∠ABP,

ABPADN

,

∴△ABP≌△ADN,

ANAP,∠NAD=∠PAB,

∵∠BAD90°,∠PAK45°,

∴∠BAP+KAD45°,

∴∠NAD+DAK45°,

即∠NAK=∠KAP45°,

NAKKAP

,

∴△PAK≌△NAK,

NKKP,

BP+DKPK

2)解:BPDK+PK,

理由是:在BC上截取BNDK,連接AN,

與(1)類似ADK≌△ABN

AKAN,∠KAD=∠BAN

∵∠KAP45°,

∴∠NAB+DAP45°

∴∠NAP90°45°45°=∠KAP,

與(1)類似KAP≌△NAPSAS),

PKPN,

BPBN+NPDK+PK,

BPDK+PK

3)解:在CPK中,CP4PK5,由勾股定理得:CK3,

DC上截取DNBP,連接AN,

由(1)可知:ANAP,

與(2)證法類似NAK≌△PAK

PKNK,

DKPB+PK

DC+34BC+5,

∵正方形ABCD,DCBC,

解得:ADDCBCAB3,

連接AC,

∵正方形ABCD,

∴∠ACB=∠DBC=∠MBP45°

∵∠ABC=∠PCK90°,

∴∠ABM=∠ACK45°+90°135°

RtABC中,由勾股定理得:AC3,

RtABP中,由勾股定理得:AP

RtADK中,由勾股定理得:AK3

∵∠PAK=∠BAC45°,∠BAK=∠BAK,

∴∠PAB=∠KAC

∵∠ABM=∠ACK,

∴△MAB∽△KAC

,

,

解得:PM,

答:PM的長是

練習冊系列答案
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A. M B. N C. P D. Q

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