Question

如圖，海事救援指揮中心A接到海上SOS呼救：一艘漁船B在海上碰到暗礁，船體漏水下沉，5名船員需要援救．經測量漁船B到海岸最近的點C的距離BC=20km，∠BAC=22°37′，指揮中心立即制定三種救援方案（如圖1）：
①派一艘沖鋒舟直接從A開往B；②先用汽車將沖鋒舟沿海岸線送到點C，然后再派沖鋒舟前往B；③先用汽車將沖鋒舟沿海岸線送到距指揮中心33km的點D，然后再派沖鋒舟前往B．
已知沖鋒舟在海上航行的速度為60km/h，汽車在海岸線上行駛的速度為90km/h．
（sin22°37′=

5

13

，cos22°37′=

12

13

，tan22°37′=

5

12

）
（1）通過計算比較，這三種方案中，哪種方案較好（汽車裝卸沖鋒舟的時間忽略不計）？
（2）事后，細心的小明發(fā)現，上面的三種方案都不是最佳方案，最佳方案應是：先用汽車將沖鋒舟沿海岸線送到點P處，點P滿足cos∠BPC=

2

3

（沖鋒舟與汽車速度的比），然后再派沖鋒舟前往B（如圖2）．請你說明理由！
如果你反復探索沒有解決問題，可以選�、�、②、③兩種研究方法：
方案①：在線段上AP任取一點M；然后用轉化的思想，從幾何的角度說明汽車行AM加上沖鋒舟行BM的時間比車行AP加上沖鋒舟行BP的時間要長．
方案②：在線段上AP任取一點M；設AM=x；然后用含有x的代數式表示出所用時間t；
方案③：利用現有數據，根據cos∠BPC=

2

3

計算出汽車行AP加上沖鋒舟行BP的時間．

Answer 1

（1）∵BC=20km∠BAC=22°37′，
∴AB=

BC

sin∠BAC

=52km，AC=48km，
方案①

52

60

=

13

15

小時=52分鐘，
②

48

90

+

20

60

=

13

15

小時=52分鐘，
③

33

90

+

(48-33)2+202

60

=

11

30

+

25

60

=

47

60

小時=47分鐘，
∴方案③較好；

（2）①點M為AP上任意一點，汽車開到M點放沖鋒舟下水，
用時tM=

AM

90

+

BM

60

，汽車開到P放沖鋒舟下水，用時tp=

AP

90

+

BP

60

，
延長BP過M作MH⊥BP于H，
∵cos∠BPC=

2

3

，
∴PH=

2

3

Mp，
∴汽車行MP的時間=沖鋒舟行PH的時間，
∴tp=

AP

90

+

BP

60

=

AM

90

+

BH

60

，

∵BM＞BH∴t_M＞tp；
②當點M在PC上任意一點時，過M作MH⊥BP于H，同理可證：t_M＞tp
方案②tM=

202+(48-x)2

60

+

x

90

，（當x=48-8

5

時，t_M最小，此時cos∠BPC=

2

3

），
方案③tp=

19 5 +48

90

小時．