Question

【題目】如圖1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC四邊形ADEF是正方形，點(diǎn)B、C分別在邊AD、AF上，此時(shí)BD=CF，BD⊥CF成立．
（1）當(dāng)△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ（0°＜θ＜90°）時(shí)，如圖2，BD=CF成立嗎？若成立，請證明，若不成立，請說明理由；
（2）當(dāng)△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，如圖3，延長BD交CF于點(diǎn)H．求證：BD⊥CF．

Answer 1

【答案】
（1）解：BD=CF．

理由如下：由題意得，∠CAF=∠BAD=θ，

在△CAF和△BAD中，

，

∴△CAF≌△BAD（SAS），

∴BD=CF

（2）解：由（1）得△CAF≌△BAD，

∴∠CFA=∠BDA，

∵∠FNH=∠DNA，∠DNA+∠ADN=90°，

∴∠CFA+∠FNH=90°，

∴∠FHN=90°，即BD⊥CF

【解析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)和全等三角形的判定定理證明△CAF≌△BAD，證明結(jié)論；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、垂直的定義證明即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等腰直角三角形和正方形的性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°；正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形才能正確解答此題．