Question

如圖，已知二次函數(shù)y=x²-2x-1的圖象的頂點(diǎn)為A．二次函數(shù)y=ax²+bx的圖象與x軸交于原點(diǎn)O及另一點(diǎn)C，它的頂點(diǎn)B在函數(shù)y=x²-2x-1的圖象的對(duì)稱軸上．
（1）求點(diǎn)A與點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)四邊形AOBC為菱形時(shí)，求函數(shù)y=ax²+bx的關(guān)系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）二次函數(shù)y=ax²+bx的頂點(diǎn)在已知二次函數(shù)拋物線的對(duì)稱軸上，可知兩個(gè)函數(shù)對(duì)稱軸相等，因此先根據(jù)已知函數(shù)求出對(duì)稱軸． y=x²-2x-1=（x-1）²-2，所以頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，-2）對(duì)稱軸為x=1，
所以二次函數(shù)y=ax²+bx關(guān)于x=1對(duì)稱，且函數(shù)與x軸的交點(diǎn)分別是原點(diǎn)和C點(diǎn)，
所以點(diǎn)C和點(diǎn)O關(guān)于直線l對(duì)稱，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，0）；
（2）因?yàn)樗倪呅蜛OBC是菱形，根據(jù)菱形性質(zhì)，可以得出點(diǎn)O和點(diǎn)C關(guān)于直線AB對(duì)稱，點(diǎn)B和點(diǎn)A關(guān)于直線OC對(duì)稱，因此，可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，2），
二次函數(shù)y=ax²+bx的圖象經(jīng)過點(diǎn)B（1，2），C（2，0），將B，C代入解析式，可得，，
解得，所以二次函數(shù)y=ax²+bx的關(guān)系式為y=-2x²+4x．
解答：解：（1）∵y=x²-2x-1=（x-1）²-2，
∴頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，-2）．
∵二次函數(shù)y=ax²+bx的圖象與x軸交于原點(diǎn)O及另一點(diǎn)C，它的頂點(diǎn)B在函數(shù)y=x²-2x-1的圖象的對(duì)稱軸上．
∴二次函數(shù)y=ax²+bx的對(duì)稱軸為：直線x=1，
∴點(diǎn)C和點(diǎn)O關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，0）．

（2）因?yàn)樗倪呅蜛OBC是菱形，所以點(diǎn)B和點(diǎn)A關(guān)于直線OC對(duì)稱，
因此，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，2）．
因?yàn)槎�次函�?shù)y=ax²+bx的圖象經(jīng)過點(diǎn)B（1，2），C（2，0），
所以，
解得，
所以二次函數(shù)y=ax²+bx的關(guān)系式為y=-2x²+4x．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用二次函數(shù)和菱形的對(duì)稱性求有關(guān)的點(diǎn)，再用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，是難度中等的考題．