Question

提出問題：小明是個愛思考的學生，在學習了三角函數(shù)后小明發(fā)現(xiàn)：
sin90°=1，，90°是45°的兩倍，但三角函數(shù)值卻是倍；
sin30°=______，sin60°=______

Answer 1

【答案】分析：把30°，60°的正弦值代入并計算即可填空；
解決問題：根據(jù)題目信息，利用角2α與α表示△ABC的面積，S_△ABC=2S_△ABD，然后整理，再根據(jù)余弦定義，余弦=鄰邊：斜邊，進行代換即可證明；
推廣應用：證明思路與解決問題相同，利用角α與β表示△ABD的面積，S_△ABD=S_△ABC+S_△ACD，然后整理，再根據(jù)余弦定義，余弦=鄰邊：斜邊，進行代換即可證明，把75°分成30°與45°的和，然后把特殊角的三角函數(shù)值代入計算即可．
解答：提出問題：
sin30°=，sin60°=，60°是30°的兩倍，但三角函數(shù)值卻是倍；（3分）

解決問題：如圖2，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，設∠BAD=α．
求證：sin2α=2sinαcosα，
證明：根據(jù)題目信息，S_△ABC=AB•ACsin2α，S_△ABD=AB•ADsinα，
∵AB=AC，AD⊥BC于D，
∴S_△ABC=2S_△ABD，
∴AB•ACsin2α=2×AB•ADsinα，
即sin2α=2sinα×，
在Rt△ADC中，=cosα，
∴sin2α=2sinαcosα；（3分）

推廣應用：結論：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，（1分）
證明：S_△ABD=AB•ADsin（α+β），S_△ABC=AB•ACsinα，S_△ACD=AC•ADsinβ，
∵S_△ABD=S_△ABC+S_△ACD，
∴AB•ADsin（α+β）=AB•ACsinα+AC•ADsinβ，
即sin（α+β）=sinα×+sinβ×，
在Rt△ACD中，=cosβ，
在Rt△ABC中，=cosα，
∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ；
并利用上述關系求出sin75°的值（保留根號）．
sin75°=sin30°cos45°+cos30°sin45°=×+×=．（1分）
點評：本題通過題目提供信息考查了解直角三角形，特殊角的三角函數(shù)值，讀懂題目信息并根據(jù)信息表示出三角形的面積是解題的關鍵．