【題目】(12分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線過點A(0,4)和C(8,0),P(t,0)是x軸正半軸上的一個動點,M是線段AP的中點,將線段MP繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得線段PB,過點B作x軸的垂線,過點A作y軸的垂線,兩直線交于點D

(1)求b、c的值;

(2)當(dāng)t為何值時,點D落在拋物線上;

(3)是否存在t,使得以A,B,D為頂點的三角形與AOP相似?若存在,求此時t的值;若不存在,請說明理由

【答案】(1)b=,c=4;(2)t=3;(3)t=

【解析】

試題分析:(1)將A、C兩點坐標(biāo)代入拋物線,求出b,c的值即可;

(2)先求得M的坐標(biāo),進(jìn)而求出點D的坐標(biāo),然后將D(t+2,4)代入(1)中的拋物線的解析式,即可求出t的值;

(3)由于t=8時,點B與點D重合,ABD不存在,所以分0<t<8和t>8兩種情況進(jìn)行討論,在每一種情況下,當(dāng)以A、B、D為頂點的三角形與PEB相似時,又分兩種情況:BEP∽△ADB與PEB∽△ADB,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的比相等列出比例式,求解即可

試題解析:(1)拋物線過點A(0,4)和C(8,0),

,解得,b=,c=4;

(2)∵∠AOP=PEB=90°,OAP=EPB=90°﹣APO,∴△AOP∽△PEB且相似比為=2,AO=4,PE=2,OE=OP+PE=t+2,又DE=OA=4,點D的坐標(biāo)為(t+2,4),點D落在拋物線上時,有,解得t=3或t=﹣2,t>0,t=3故當(dāng)t為3時,點D落在拋物線上;

(3)存在t,能夠使得以A、B、D為頂點的三角形與AOP相似,理由如下:

當(dāng)0<t<8時,如圖1

POA∽△ADB,則PO:AD=AO:BD,即t:(t+2)=4:(4﹣t),整理得,t無解;

POA∽△BDA,同理,解得(負(fù)值舍去);

當(dāng)t>8時,如圖2

POA∽△ADB,則PO:AD=AO:BD,即t:(t+2)=4:(t﹣4),解得t=(負(fù)值舍去);

POA∽△BDA,同理,解得t無解

綜上可知,當(dāng)t=時,以A、B、D為頂點的三角形與AOP相似

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1 ;

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