Question

已知：如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°．點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作DC的垂線交AB于點(diǎn)P，交CB的延長線于點(diǎn)M．點(diǎn)F在線段ME上，且滿足CF＝AD，MF＝MA．

（1）若∠MFC＝120°，求證：AM＝2MB；
（2）求證：∠MPB＝90°－ ∠FCM．

Answer 1

（1）連結(jié)MD
∵點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，ME⊥DC ∴MD=MC
又∵AD=CF,MF=MA ∴△AMD≌△FMC
∴∠MAD=∠MFC=120° ∵AD∥BC，∠ABC＝90°
∴∠BAD＝90°      ∴∠MAB＝30°
在Rt△AMB中，∠MAB＝30°
∴BM=AM．,即AM=2BM
(2)∵△AMD≌△FMC ∴∠ADM=∠FCM
∵AD∥BC        ∴∠ADM=∠CMD
∴∠CMD=∠FCM
∵M(jìn)D=MC,ME⊥DC
∴∠DME==∠CME=∠CMD
∴∠CME=∠FCM
在在Rt△MBP中，∠MPB＝90°-∠CME=90°- ∠FCM

（1）連接MD，由于點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，ME⊥DC，所以MD=MC，然后利用已知條件證明△AMD≌△FMC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可以推出∴∠MAD=∠MFC=120°，接著得到∠MAB=30°，再根據(jù)30°的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半即可證明AM=2BM；
（2）利用（1）的結(jié)論得到∠ADM=∠FCM，又AD∥BC，所以∠ADM=∠CMD，由此得到∠CMD=∠FCM，再利用等腰三角形的性質(zhì)即可得到∠CME=∠FCM，再根據(jù)已知條件即可解決問題．