【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸相交于A,B兩點(diǎn),與y軸相交于點(diǎn)C,直線y=kx+n(k≠0)經(jīng)過B,C兩點(diǎn),已知A(1,0),C(0,3),且BC=5.
(1)分別求直線BC和拋物線的解析式(關(guān)系式);
(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P,使得以B,C,P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形?若存在,請求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1)直線BC的解析式為y=﹣x+3;拋物線解析式為y=x2﹣x+3;(2)存在.P1(,),P2(,﹣2),P3(,),P4(,).
【解析】
試題分析:(1)由C的坐標(biāo)確定出OC的長,在直角三角形BOC中,利用勾股定理求出OB的長,確定出點(diǎn)B坐標(biāo),把B與C坐標(biāo)代入直線解析式求出k與n的值,確定出直線BC解析式,把A與B坐標(biāo)代入拋物線解析式求出a的值,確定出拋物線解析式即可;(2)在拋物線的對稱軸上存在點(diǎn)P,使得以B,C,P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形,如圖所示,分三種情況考慮:當(dāng)PC⊥CB時(shí),△PBC為直角三角形;當(dāng)P′B⊥BC時(shí),△BCP′為直角三角形,當(dāng)點(diǎn)P為直角頂點(diǎn),即PC⊥PB時(shí),△PBC為直角三角形;分別求出P的坐標(biāo)即可.
試題解析:(1)由C的坐標(biāo)確定出OC的長,∵C(0,3),即OC=3,∵BC=5,∴在Rt△BOC中,根據(jù)勾股定理得:OB==4,即B(4,0),把B與C坐標(biāo)代入y=kx+n中,得:,解得:k=﹣,n=3,∴直線BC的解析式為y=﹣x+3;由A(1,0),B(4,0),設(shè)拋物線解析式為y=a(x﹣1)(x﹣4)=ax2﹣5ax+4a,把C(0,3)代入得:a=,則拋物線解析式為y=x2﹣x+3;(2)存在.如圖所示,分三種情況考慮:∵拋物線解析式為y=x2﹣x+3,∴其對稱軸x=﹣=﹣=.當(dāng)P1C⊥CB時(shí),△P1BC為直角三角形,∵直線BC的斜率為﹣,兩條直線垂直時(shí)斜率的積為-1,∴直線P1C斜率為,∵C(0,3),∴直線P1C解析式為y=x+3,與拋物線對稱軸方程聯(lián)立得,解得:,此時(shí)P(,);當(dāng)P2B⊥BC時(shí),△BCP2為直角三角形,同理得到直線P2B的斜率為,∵B(4,0),∴直線P2B方程為y=x﹣,與拋物線對稱軸方程聯(lián)立得:,解得:,此時(shí)P2(,﹣2).∴P1(,)或P2(,﹣2)時(shí)△BCP為直角三角形.當(dāng)點(diǎn)P為直角頂點(diǎn),即PC⊥PB時(shí),設(shè)P(,y),∵B(4,0),C(0,3),∴BC=5,∴BC2=PC2+PB2,即25=()2+(y﹣3)2+(﹣4)2+y2,解得y=,∴P3(,),P4(,)時(shí)△BCP為直角三角形..綜上所述,在拋物線的對稱軸上存在點(diǎn)P,使得以B,C,P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形,點(diǎn)P的坐標(biāo)分別為P1(,),P2(,﹣2),P3(,),P4(,).
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【題目】下列運(yùn)算正確的是( )
A. a+2a=2a2B. (﹣2ab2)2=4a2b4
C. (a﹣3)2=a2﹣9D. a6÷a3=a2
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【題目】在ABCD中,AB=6,AD=8,∠B是銳角,將△ACD沿對角線AC所在直線折疊,點(diǎn)D落在△ABC所在平面內(nèi)的點(diǎn)E處.如果AE恰好經(jīng)過BC的中點(diǎn),那么ABCD的面積是________.
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【題目】下列不等式變形正確的是 ( )
A.由4x- 1≥0得4x>1
B.由5x>3 得 x>3
C.由 >0得 y>0
D.由-2x<4得x<-2
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【題目】為弘揚(yáng)中華民族傳統(tǒng)文化,某校舉辦了“古詩文大賽”,并為獲獎(jiǎng)同學(xué)購買簽字筆和筆記本作為獎(jiǎng)品.1支簽字筆和2個(gè)筆記本共8.5元,2支簽字筆和3個(gè)筆記本共13.5元.
(1)求簽字筆和筆記本的單價(jià)分別是多少元?
(2)為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情,學(xué)校決定給每名獲獎(jiǎng)同學(xué)再購買一本文學(xué)類且定價(jià)為15元的圖書,書店出臺(tái)如下促銷方案:購買圖書總數(shù)超過50本可以享受8折優(yōu)惠,學(xué)校如果多買12本,則可以享受優(yōu)惠且所花錢數(shù)與原來相同,問學(xué)校獲獎(jiǎng)的同學(xué)有多少人?
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【題目】下列命題中,真命題是( )
A. 相等的圓心角所對的弧相等
B. 面積相等的兩個(gè)圓是等圓
C. 三角形的內(nèi)心到各頂點(diǎn)的距離相等
D. 長度相等的弧是等弧
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【題目】數(shù)學(xué)家把4,10,16,22,28…叫做等差數(shù)列數(shù),根據(jù)它的規(guī)律,則第100等差數(shù)列數(shù)為( 。
A. 600 B. 2017 C. 602 D. 598
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【題目】統(tǒng)計(jì)2010年上海世博會(huì)前20天日參觀人數(shù),得到如下頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖(部分未完成): 上海世博會(huì)前20天日參觀人數(shù)的頻數(shù)分布表:
組別(萬人) | 組中值(萬人) | 頻數(shù) |
7.5~14.5 | 11 | 5 |
14.5~21.5 | 6 | |
21.5~28.5 | 25 | |
28.5~35.5 | 32 | 3 |
上海世博會(huì)前20天日參觀人數(shù)的頻數(shù)分布直方圖:
(1)請補(bǔ)全頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖;
(2)求出日參觀人數(shù)不低于22萬的天數(shù)和所占的百分比;
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