Question

如圖，已知點(diǎn)A（0，4），B（2，0）．

（1）求直線AB的函數(shù)解析式；
（2）已知點(diǎn)M是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），以M為頂點(diǎn)的拋物線y=（x﹣m）²+n與線段OA交于點(diǎn)C．
①求線段AC的長(zhǎng)；（用含m的式子表示）
②是否存在某一時(shí)刻，使得△ACM與△AMO相似？若存在，求出此時(shí)m的值．

Answer 1

解：（1）設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為：y=kx+b，
∵點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)B坐標(biāo)為（2，0），
∴，解得：。
∴直線AB的函數(shù)解析式為y=﹣2x+4。
（2）①∵以M為頂點(diǎn)的拋物線為y=（x﹣m）²+n，
∴拋物線頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，n）。
∵點(diǎn)M在線段AB上，∴n=﹣2m+4。
∴y=（x﹣m）²﹣2m+4。
把x=0代入y=（x﹣m）²﹣2m+4，得y=m²﹣2m+4，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，m²﹣2m+4）。
∴AC=OA﹣OC=4﹣（m²﹣2m+4）=﹣m²+2m。
②存在某一時(shí)刻，能夠使得△ACM與△AMO相似。理由如下：
過(guò)點(diǎn)M作MD⊥y軸于點(diǎn)D，則D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣2m+4），

∴AD=OA﹣OD=4﹣（﹣2m+4）=2m。
∵M(jìn)不與點(diǎn)A、B重合，∴0＜m＜2。
又∵M(jìn)D=m，∴。
∵在△ACM與△AMO中，∠CAM=∠MAO，∠MCA＞∠AOM，
∴當(dāng)△ACM與△AMO相似時(shí)，假設(shè)△ACM∽△AMO。
∴，即。
整理，得 9m²﹣8m=0，解得m=或m=0（舍去），
∴存在一時(shí)刻使得△ACM與△AMO相似，此時(shí)m=

試題分析：（1）設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為：y=kx+b，將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出直線AB的函數(shù)解析式。
（2）①先由拋物線的頂點(diǎn)式為y=（x﹣m）²+n得出頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，n），由點(diǎn)M是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，得出n=﹣2m+4，則y=（x﹣m）²﹣2m+4，再求出拋物線y=（x﹣m）²+n與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后根據(jù)AC=OA﹣OC即可求解。
②過(guò)點(diǎn)M作MD⊥y軸于點(diǎn)D，則D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣2m+4），AD=OA﹣OD=2m，由勾股定理求出AM=m．在△ACM與△AMO中，由于∠CAM=∠MAO，∠MCA＞∠AOM，所以當(dāng)△ACM與△AMO相似時(shí)，只能是△ACM∽△AMO，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出，即，解方程求出m的值即可。