Question

某班甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行了一次用正方形紙片折疊探究相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題的課題學(xué)習(xí)活動(dòng).

活動(dòng)情境：

如圖2，將邊長(zhǎng)為8cm的正方形紙片ABCD沿EG折疊(折痕EG分別與AB、DC交于點(diǎn)E、G)，使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn) F處，F(xiàn)N與DC交于點(diǎn)M處，連接BF與EG交于點(diǎn)P．

 所得結(jié)論：

當(dāng)點(diǎn)F與AD的中點(diǎn)重合時(shí)：（如圖1）甲、乙、丙三位同學(xué)各得到如下一個(gè)正確結(jié)論（或結(jié)果）：

甲：△AEF的邊AE=     cm，EF=     cm；

乙：△FDM的周長(zhǎng)為16 cm；

丙：EG=BF.

 你的任務(wù)：

1.填充甲同學(xué)所得結(jié)果中的數(shù)據(jù)；

2.  寫出在乙同學(xué)所得結(jié)果的求解過(guò)程；

3.當(dāng)點(diǎn)F在AD邊上除點(diǎn)A、D外的任何一處（如圖2）時(shí)：

① 試問(wèn)乙同學(xué)的結(jié)果是否發(fā)生變化？請(qǐng)證明你的結(jié)論；

② 丙同學(xué)的結(jié)論還成立嗎？若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由，若你認(rèn)為成立，先證明EG=BF，再求出S（S為四邊形AEGD的面積）與x（AF=x）的函數(shù)關(guān)系式，并問(wèn)當(dāng)x為何值時(shí)，S最大？最大值是多少？

 

Answer 1

 

1.AE= 3   cm， EF= 5 cm；設(shè)AE=x，則EF=8－x，AE=4，∠A=90°，，x=3，∴AE=3cm， EF=5 cm.

2.解：如答圖1，∵∠MFE=90°，∴∠DFM+∠AFE=90°，

又∵∠A=∠D=90°，∠AFE=∠DMF，∴△AEF∽△DFM，∴，又∵AE=3，AF=DF=4，EF=5∴，，，，

∴△FMD的周長(zhǎng)=4++=16.…

3.① 乙的結(jié)果不會(huì)發(fā)生變化

理由：如答圖2，設(shè)AF=x，EF=8－AE，，∴AE=4－，

同上述方法可得△AEF∽△DFM，=x+8，F(xiàn)D=8－x，

則，=16.

②  丙同學(xué)的結(jié)論還成立

證明：如答圖2，∵B、F關(guān)于GE對(duì)稱，∴BF⊥EG于P，過(guò)G作GK⊥AB于K，∴∠FBE=∠KGE，

在正方形ABCD中，GK=BC=AB，∠A=∠EKG=90°，∴△AFB≌△KEG，∴FB=GK.由上述可知AE=4－，△AFB≌△KEG，∴AF=EK=x，AK=AE+EK=AF+AE=4－+x，S=×8=0.5×8（AE+AK）=4×（4－+4－+x）=

S =，（0﹤x﹤8）

當(dāng)x=4,即F與AD的中點(diǎn)重合時(shí),，=24.

解析:略