【題目】如圖,是矩形內(nèi)的任意一點(diǎn),連接、、, 得到 , , , ,設(shè)它們的面積分別是,,,, 給出如下結(jié)論:③若,則④若,則點(diǎn)在矩形的對(duì)角線上.其中正確的結(jié)論的序號(hào)是(

A.①②B.②③C.③④D.②④

【答案】D

【解析】

根據(jù)三角形面積公式、矩形性質(zhì)及相似多邊形的性質(zhì)得出:

①矩形對(duì)角線平分矩形,SABD=SBCD,只有P點(diǎn)在BD上時(shí),S +S =S +S4;

②根據(jù)底邊相等的兩個(gè)三角形的面積公式求和可知,S+S=矩形ABCD面積,同理S+S4=矩形ABCD面積,所以S+S= S+S4;

③根據(jù)底邊相等高不相等的三角形面積比等于高的比來(lái)說(shuō)明即可;

④根據(jù)相似四邊形判定和性質(zhì),對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例的四邊形相似,矩形AEPF∽矩形ABCD推出,點(diǎn)P在對(duì)角線上.

解:①當(dāng)點(diǎn)P在矩形的對(duì)角線BD上時(shí),S +S =S +S4.P是矩形ABCD內(nèi)的任意一點(diǎn),所以該等式不一定成立。故①不一定正確;

②∵矩形

AB=CD,AD=BC

APDAD為底邊,PBCBC為底邊,這兩三角形的底相等,高的和為AB,

S +S =S矩形ABCD;

同理可得S +S4=S矩形ABCD ,

∴②S+S4=S+S正確;

③若S =2S ,只能得出△APDPBC高度之比是,S、S4分別是以AB、CD為底的三角形的面積,底相等,高的比不一定等于,S4=2S2不一定正確 ;故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;

④過(guò)點(diǎn)P分別作PFAD于點(diǎn)F,PEAB于點(diǎn)E,F.

S1=S2,.AD·PF=AB·PE

∴△APD與△PAB的高的比為:

∵∠DAE=PEA=PFA =90°

∴四邊形AEPF是矩形,

∴矩形AEPF∽矩形ABCD

P點(diǎn)在矩形的對(duì)角線上,選項(xiàng)④正確.

故選:D

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1)求證:四邊形CEDF為平行四邊形;

2)若AB6cm,BC10cm,∠B60°,

當(dāng)AE  cm時(shí),四邊形CEDF是矩形;

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ABCDEF的周長(zhǎng)比為12ABCDEF的面積比為41

A. 1B. 2C. 3D. 4

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