Question

已知：如圖，A，B是半圓O上的兩點(diǎn)，CD是⊙O的直徑，∠AOD=80°，B是的中點(diǎn)．
（1）在CD上求作一點(diǎn)P，使得AP+PB最短；
（2）若CD=4cm，求AP+PB的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）作出B關(guān)于CD的對稱點(diǎn)B′，連接AB′，交CD于P點(diǎn)，P就是所求的點(diǎn)；
（2）延長AO交圓與E，連接OB′，B′E，可以根據(jù)圓周角定理求得∠AOB′的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得∠A的度數(shù)，然后在直角△AEB′中，解直角三角形即可求解．
解答：解：（1）作BB′⊥CD，交圓于B′，然后連接AB′，交CD于P點(diǎn)，P就是所求的點(diǎn)；

（2）延長AO交圓于E，連接OB′，B′E．
∵BB′⊥CD
∴=，
∵∠AOD=80°，B是的中點(diǎn)，
∴∠DOB′=∠AOD=40°．
∴∠AOB′=∠AOD+∠DOB′=120°，
又∵OA=OB′，
∴∠A==30°．
∵AE是圓的直徑，
∴∠AB′E=90°，
∴直角△AEB′中，B′E=AE=×4=2，
∴AB′===2cm．
點(diǎn)評：本題考查了垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)，以及圓周角的性質(zhì)定理，正確求得∠AOB′的度數(shù)是關(guān)鍵．