Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)， A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，-3），點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動點(diǎn).（1）求這個二次函數(shù)的表達(dá)式．

（2）連結(jié)PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP’C， 那么是否存在點(diǎn)P，使四邊形POP’C為菱形？若存在，請求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時，四邊形 ABPC的面積最大，并求出此時P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在點(diǎn)P，使得四邊形POP’C為菱形，P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）（3）P點(diǎn)的坐標(biāo)為，四邊形ABPC的面積最大為

【解析】

試題分析：（1）將B、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求得待定系數(shù)的值；

（2）由于菱形的對角線互相垂直平分，若四邊形POP′C為菱形，那么P點(diǎn)必在OC的垂直平分線上，據(jù)此可求出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，代入拋物線的解析式中即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）由于△ABC的面積為定值，當(dāng)四邊形ABPC的面積最大時，△BPC的面積最大；過P作y軸的平行線，交直線BC于Q，交x軸于F，易求得直線BC的解析式，可設(shè)出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后根據(jù)拋物線和直線BC的解析式求出Q、P的縱坐標(biāo)，即可得到PQ的長，以PQ為底，B點(diǎn)橫坐標(biāo)的絕對值為高即可求得△BPC的面積，由此可得到關(guān)于四邊形ACPB的面積與P點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出四邊形ABPC的最大面積及對應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)

試題解析：（1）將B,C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入

得到

解得：

∴二次函數(shù)的表達(dá)式為：

（2）存在點(diǎn)P，使得四邊形POP’C為菱形。

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，），PP’交CO于點(diǎn)D

∵四邊形POP’C為菱形

∴OD=DC，PP’⊥OC

∵C點(diǎn)為（0，-3）

∴D點(diǎn)為（0，）

∴=

解得：，（不合題意，舍去）

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）

（3）過點(diǎn)P作x軸的垂線與OB交于點(diǎn)E, 與BC交于點(diǎn)F，

∵二次函數(shù)

∴點(diǎn)A為（-1，0）

設(shè)P（x，），

易得直線BC的解析式為

則F點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，x－3）.

=

當(dāng)時，四邊形ABPC的面積最大

此時P點(diǎn)的坐標(biāo)為，四邊形ABPC的面積最大為．