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(2006•廣州)已知拋物線y=x2+mx-2m2(m≠0).
(1)求證:該拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn);
(2)過點(diǎn)P(0,n)作y軸的垂線交該拋物線于點(diǎn)A和點(diǎn)B(點(diǎn)A在點(diǎn)P的左邊),是否存在實(shí)數(shù)m、n,使得AP=2PB?若存在,則求出m、n滿足的條件;若不存在,請說明理由.
【答案】分析:(1)要證拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn),實(shí)際上就是一元二次方程x2+mx-2m2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,只要證出b2-4ac>0即可;
(2)根據(jù)題意易知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)必須滿足的方程,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系,可得AB與PB的關(guān)于m的關(guān)系式,根據(jù)AB的位置不同,分兩種情況討論,并解出m的值.
解答:(1)證明:△=m2-4×1×(-2m2)=9m2
∵m≠0,∴△>0,
∴該拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn);

(2)解:由題意易知:點(diǎn)A、B的坐標(biāo)滿足方程:x2+mx-2m2=n,即x2+mx-(2m2+n)=0
由于方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,
因此△>0,即m2-4×1×[-(2m2+n)]>0?9m2+4n>0,①
由求根公式可知兩根為:,
,
,
分兩種情況討論:
第一種:如圖1,點(diǎn)A在點(diǎn)P左邊,點(diǎn)B在點(diǎn)P的右邊
∵AP=2PB
∴AB=3PB
.②
∴m>0.③
由②式可解得n=0.④
第二種:如圖2,點(diǎn)A、B都在點(diǎn)P左邊
∵AP=2PB
∴AB=PB
.⑤
∴m>0.⑥
由⑤式可解得n=-m2.⑦
綜合①③④⑥⑦可知,滿足條件的點(diǎn)P存在,此時(shí)m、n應(yīng)滿足條件:m>0,n=0或n=-m2
點(diǎn)評:命題立意:考查二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系.此題綜合性強(qiáng),難度較大,解決的關(guān)鍵是將二次函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題,然后求解.
練習(xí)冊系列答案
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(2006•廣州)已知四組線段的長分別如下,以各組線段為邊,能組成三角形的是( )
A.1,2,3
B.2,5,8
C.3,4,5
D.4,5,10

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同步練習(xí)冊答案
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