Question

【題目】在如圖的直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(2,0)、B(0，－4)，將線段AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°至AC．

(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)若拋物線y＝－x2＋ax＋4經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．

①求拋物線的解析式；

②在拋物線上是否存在點(diǎn)P(點(diǎn)C除外)使△ABP是以AB為直角邊的等腰直角三角形?若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】C的坐標(biāo)為（3，﹣1）；

（2）①拋物線的解析式為y=﹣x2+x+2；

②存在點(diǎn)P，△ABP是以AB為直角邊的等腰直角三角形，符合條件的點(diǎn)有P1（﹣1，1），P2（﹣2，﹣1）兩點(diǎn)．

【解析】

試題（1）過(guò)點(diǎn)C作CD垂直于x軸，由線段AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°至AC，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)得到AB=AC，且∠BAC為直角，可得∠OAB與∠CAD互余，由∠AOB為直角，可得∠OAB與∠ABO互余，根據(jù)同角的余角相等可得一對(duì)角相等，再加上一對(duì)直角相等，利用ASA可證明三角形ACD與三角形AOB全等，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得AD=OB，CD=OA，由A和B的坐標(biāo)及位置特點(diǎn)求出OA及OB的長(zhǎng)，可得出OD及CD的長(zhǎng)，根據(jù)C在第四象限得出C的坐標(biāo)；

（2）①由已知的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，把第一問(wèn)求出C的坐標(biāo)代入拋物線解析式，列出關(guān)于a的方程，求出方程的解得到a的值，確定出拋物線的解析式；

②假設(shè)存在點(diǎn)P使△ABP是以AB為直角邊的等腰直角三角形，分三種情況考慮：（i）A為直角頂點(diǎn)，過(guò)A作AP1垂直于AB，且AP1=AB，過(guò)P1作P1M垂直于x軸，如圖所示，根據(jù)一對(duì)對(duì)頂角相等，一對(duì)直角相等，AB=AP1，利用AAS可證明三角形AP1M與三角形ACD全等，得出AP1與P1M的長(zhǎng)，再由P1為第二象限的點(diǎn)，得出此時(shí)P1的坐標(biāo)，代入拋物線解析式中檢驗(yàn)滿足；（ii）當(dāng)B為直角頂點(diǎn)，過(guò)B作BP2垂直于BA，且BP2=BA，過(guò)P2作P2N垂直于y軸，如圖所示，同理證明三角形BP2N與三角形AOB全等，得出P2N與BN的長(zhǎng)，由P2為第三象限的點(diǎn)，寫(xiě)出P2的坐標(biāo)，代入拋物線解析式中檢驗(yàn)滿足；（iii）當(dāng)B為直角頂點(diǎn)，過(guò)B作BP3垂直于BA，且BP3=BA，如圖所示，過(guò)P3作P3H垂直于y軸，同理可證明三角形P3BH全等于三角形AOB，可得出P3H與BH的長(zhǎng)，由P3為第四象限的點(diǎn)，寫(xiě)出P3的坐標(biāo)，代入拋物線解析式檢驗(yàn)，不滿足，綜上，得到所有滿足題意的P的坐標(biāo)．

試題解析：（1）過(guò)C作CD⊥x軸，垂足為D，

∵BA⊥AC，∴∠OAB+∠CAD=90°，

又∠AOB=90°，∴∠OAB+∠OBA=90°，

∴∠CAD=∠OBA，又AB=AC，∠AOB=∠ADC=90°，

∴△AOB≌△CDA，又A（1，0），B（0，﹣2），

∴OA=CD=1，OB=AD=2，

∴OD=OA+AD=3，又C為第四象限的點(diǎn)，

∴C的坐標(biāo)為（3，﹣1）；

（2）①∵拋物線y=﹣x2+ax+2經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且C（3，﹣1），

∴把C的坐標(biāo)代入得：﹣1=﹣+3a+2，解得：a=，

則拋物線的解析式為y=﹣x2+x+2；

②存在點(diǎn)P，△ABP是以AB為直角邊的等腰直角三角形，

（i）若以AB為直角邊，點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，

則延長(zhǎng)CA至點(diǎn)P1使得P1A=CA，得到等腰直角三角形ABP1，過(guò)點(diǎn)P1作P1M⊥x軸，如圖所示，

∵AP1=CA，∠MAP1=∠CAD，∠P1MA=∠CDA=90°，

∴△AMP1≌△ADC，

∴AM=AD=2，P1M=CD=1，

∴P1（﹣1，1），經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)P1在拋物線y=﹣x2+x+2上；

（ii）若以AB為直角邊，點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)B作BP2⊥BA，且使得BP2=AB，

得到等腰直角三角形ABP2，過(guò)點(diǎn)P2作P2N⊥y軸，如圖，

同理可證△BP2N≌△ABO，

∴NP2=OB=2，BN=OA=1，

∴P2（﹣2，﹣1），經(jīng)檢驗(yàn)P2（﹣2，﹣1）也在拋物線y=﹣x2+x+2上；

（iii）若以AB為直角邊，點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)B作BP3⊥BA，且使得BP3=AB，

得到等腰直角三角形ABP3，過(guò)點(diǎn)P3作P3H⊥y軸，如圖，

同理可證△BP3H≌△BAO，

∴HP3=OB=2，BH=OA=1，

∴P3（2，﹣3），經(jīng)檢驗(yàn)P3（2，﹣3）不在拋物線y=﹣x2+x+2上；

則符合條件的點(diǎn)有P1（﹣1，1），P2（﹣2，﹣1）兩點(diǎn)．