Question

【題目】“一帶一路”讓中國和世界更緊密，“中歐鐵路”為了安全起見在某段鐵路兩旁安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈．如圖1所示，燈A射線從AM開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線從BP開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒2度，燈B轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN=2：1．

（1）填空：∠BAN=_____°；

（2）若燈B射線先轉(zhuǎn)動(dòng)30秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈B射線到達(dá)BQ之前，A燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩燈的光束互相平行？

（3）如圖2，若兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈A射線到達(dá)AN之前．若射出的光束交于點(diǎn)C，過C作∠ACD交PQ于點(diǎn)D，且∠ACD=120°，則在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，請?zhí)骄?/span>∠BAC與∠BCD的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請求出其數(shù)量關(guān)系；若改變，請說明理由．

Answer 1

【答案】60

【解析】分析：（1）根據(jù)∠BAM+∠BAN=180°，∠BAM：∠BAN=2：1，即可得到∠BAN的度數(shù)；

（2）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)t秒，兩燈的光束互相平行，分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)0＜t＜90時(shí)，根據(jù)2t=1（30+t），可得 t=30；當(dāng)90＜t＜150時(shí)，根據(jù)1（30+t）+（2t﹣180）=180，可得t=110；

（3）設(shè)燈A射線轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為t秒，根據(jù)∠BAC=2t﹣120°，∠BCD=120°﹣∠BCD=t﹣60°，即可得出∠BAC：∠BCD=2：1，據(jù)此可得∠BAC和∠BCD關(guān)系不會(huì)變化．

詳解：（1）∵∠BAM+∠BAN=180°，∠BAM：∠BAN=2：1，∴∠BAN=180°×=60°．

故答案為：60；

（2）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)t秒，兩燈的光束互相平行，

①當(dāng)0＜t＜90時(shí)，如圖1．

∵PQ∥MN，∴∠PBD=∠BDA．

∵AC∥BD，∴∠CAM=∠BDA，∴∠CAM=∠PBD

∴2t=1（30+t），解得 t=30；

②當(dāng)90＜t＜150時(shí)，如圖2．

∵PQ∥MN，∴∠PBD+∠BDA=180°．

∵AC∥BD，∴∠CAN=∠BDA

∴∠PBD+∠CAN=180°

∴1（30+t）+（2t﹣180）=180，解得 t=110．

綜上所述：當(dāng)t=30秒或110秒時(shí)，兩燈的光束互相平行；

（3）∠BAC和∠BCD關(guān)系不會(huì)變化．

理由：設(shè)燈A射線轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為t秒，

∵∠CAN=180°﹣2t，∴∠BAC=60°﹣（180°﹣2t）=2t﹣120°．

又∵∠ABC=120°﹣t，∴∠BCA=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=180°﹣t，而∠ACD=120°，∴∠BCD=120°﹣∠BCA=120°﹣（180°﹣t）=t﹣60°，∴∠BAC：∠BCD=2：1，即∠BAC=2∠BCD，∴∠BAC和∠BCD關(guān)系不會(huì)變化．