Question

（1997•吉林）已知：直線y=-

3

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x+1與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，以AB為邊在第一象限內(nèi)作正三角形ABC，⊙O′為△ABC的外接圓，與x軸交于另一點(diǎn)E．
（1）求C點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）求過點(diǎn)C與AB中點(diǎn)D的一次函數(shù)的解析式．
（3）求過E、O′、A三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)直線y=-

3

3

x+1與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，在Rt△ABO中，根據(jù)勾股定理求出AB的長，故可得出tan∠BAO的值，可得出∠BAO的度數(shù)，判斷出△ABC的形狀，由平行線的判定定理得出CA∥OB，由此即可得出C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）過D作DF∥OB，交OA于F，由點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)可求出D點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)過C、D兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為y=kx+b（k≠0），再把C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可求出此函數(shù)的解析式；
（3）過點(diǎn)B作BH⊥AC于點(diǎn)H，根據(jù)△ABC是等邊△，可知BH是AC的垂直平分線，BH過點(diǎn)O′，故點(diǎn)B與點(diǎn)O′
的縱坐標(biāo)相等，故可得出O′的坐標(biāo)，再由CA∥BO，BH⊥AC可知BH⊥OB且過⊙O′半徑的外端，故可得出OB是⊙O′的切線，由切線長定理可得OB²=OE•OA，進(jìn)而可求出OE的長，故可得出E點(diǎn)坐標(biāo)，
設(shè)過E、O′、A三點(diǎn)的拋物線為y=ax²+bx+c（a≠0），將三點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求出abc的值，故可得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵直線y=-

3

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x+1與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，
∴A（

3

，0），B（0，1），
在Rt△ABO中，
∵AB=

OA2+OB2

=2，
∴tan∠BAO=

1

3

=

3

3

，
∴∠BAO=30°
又∵△ABC是等邊三角形
∴AC=AB=2，∠BAC=60°，
∴∠OAC=90°
∴CA∥OB，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

，2）；

（2）∵D是AB的中點(diǎn)，過D作DF∥OB，交OA于F，
則DF=

1

2

OB=

1

2

，OF=

1

2

OA=

3

2

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

2

，

1

2

），
設(shè)過C、D兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為y=kx+b（k≠0），
則

3 k+b=0 3 2 k+b= 1 2

，解得

k= 3 b=-1

，
∴所求一次函數(shù)的解析式為y=

3

x-1；

（3）過點(diǎn)B作BH⊥AC于點(diǎn)H，
∵△ABC是等邊△，
∴BH是AC的垂直平分線，
∴BF過點(diǎn)O′，
∵B（0，1），
∴當(dāng)y=1時，x=

2 3

3

∴O′（

2 3

3

，1），
∵CA∥BO，BH⊥AC，
∴BH⊥OB，且過⊙O′半徑的外端，
∴OB是⊙O′的切線，
∴OB²=OE•OA，即1=OE•

3

，解得OE=

3

3

，
∴E（

3

3

，0），
設(shè)過E、O′、A三點(diǎn)的拋物線為y=ax2+bx+c，將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得

3a+ 3 b+c=0 4 3 a+ 2 3 b 3 +c=1 1 3 a+b+c=0

解得

a=-3 b=4 3 c=-3

∴所求二次函數(shù)的解析式為y=-3x²+4

3

x-3．

點(diǎn)評：本題考查的是一次函數(shù)綜合題，涉及到等邊三角形的判定與性質(zhì)、切線的判定與性質(zhì)、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及二次函數(shù)的解析式等知識，難度適中．