【題目】知識鏈接:將兩個含30°角的全等三角尺放在一起,讓兩個30°角合在一起成60°,經(jīng)過拼湊、觀察、思考,探究出“直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半”結論.
如圖:等邊三角形ABC的邊長為4cm,點D從點C出發(fā)沿CA向A運動,點E從B出發(fā)沿AB的延長線BF向右運動,已知點D、E都以每秒0.5cm的速度同時開始運動,運動過程中DE與BC相交于點P,設運動時間為x秒.
(1)請直接寫出AD長.(用x的代數(shù)式表示)
(2)當△ADE為直角三角形時,運動時間為幾秒?
(2)求證:在運動過程中,點P始終為線段DE的中點.
【答案】(1)AD=4-0.5x;(2);(3)證明見解析.
【解析】試題分析:(1)直接根據(jù)AD=AC-CD求解;(2)設x秒時,△ADE為直角三角形,分別用含x的式子表示出AD和AE,再根據(jù)Rt△ADE中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半得出x的方程,求解即可;(3)作DG∥AB交BC于點G,證△DGP≌△EBP便可得.
解:(1)由AC=4,CD=0.5x,得AD=AC-CD=4-0.5x;
(2)∵△ABC是等邊三角形,
∴AB=BC=AC=4cm,∠A=∠ABC=∠C=60°.
設x秒時,△ADE為直角三角形,
∴∠ADE=90°,CD=0.5x,BE=0.5x,AD=4-0.5x,AE=4+0.5x,
∴∠AED=30°,∴AE=2AD,
∴4+0.5x=2(4-0.5x),∴x=.
答:運動秒后,△ADE為直角三角形;
(3)作DG∥AB交BC于點G,
∴∠GDP=∠BEP,∠CDG=∠A=60°,∠CGD=∠ABC=60°,
∴∠C=∠CDG=∠CGD,
∴△CDG是等邊三角形,∴DG=DC,
∵DC=BE,∴DG=BE.
在△DEP和△EBP中,∠GDP=BEP,∠DPG=∠EPB,DG=EB,
∴△DGP≌△EBP,∴DP=PE.
∴在運動過程中,點P始終為線段DE的中點.
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【題目】如圖,P是等邊三角形ABC內一點,將線段AP繞點A順時針旋轉60°得到線段AQ,若PA=6,PB=8,PC=10,則∠APB=_____°.
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【題目】如圖,直徑為10的半圓O,tan∠DBC= ,∠BCD的平分線交⊙O于F,E為CF延長線上一點,且∠EBF=∠GBF.
(1)求證:BE為⊙O切線;
(2)求證:BG2=FGCE;
(3)求OG的值.
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【題目】某商場準備進一批兩種不同型號的衣服,已知購進種型號衣服9件,種型號衣服10件,則共需1810元;若購進種型號衣服12件,種型號衣服8件,共需1880元;已知銷售一件型號衣服可獲利18元,銷售一件型號衣服可獲利30元.要使在這次銷售中獲利不少于699元,且型號衣服不多于28件.
(1)求型號衣服進價各是多少元?
(2)若已知購進型號衣服是型號衣服的2倍還多4件,則商店在這次進貨中可有幾種方案?并簡述購貨方案.
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【題目】如圖,已知在四邊形ABCD中,AD=BC且AC⊥BD,點E,F(xiàn),G,H,P,Q分別是AB,BC,CD,DA,AC,BD的中點.
求證:(1)四邊形EFGH是矩形;
(2)四邊形EQGP是菱形.
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【題目】如圖所示,火車站、碼頭分別位于A,B兩點,直線a和b分別表示鐵路與河流.
(1)從火車站到碼頭怎樣走最近,畫圖并說明理由;
(2)從碼頭到鐵路怎樣走最近,畫圖并說明理由;
(3)從火車站到河流怎樣走最近,畫圖并說明理由.
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【題目】如圖,正方形ABCD位于第一象限,邊長為3,點A在直線y=x上,點A的橫坐標為1,正方形ABCD的邊分別平行于x軸、y軸.若雙曲線y= 與正方形ABCD有公共點,則k的取值范圍為( )
A.1<k<9
B.2≤k≤34
C.1≤k≤16
D.4≤k<16
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中有一個△ABC,頂點A(﹣1,3),B(2,0),C(﹣3,﹣1).
(1)畫出△ABC關于y軸的對稱圖形△A1B1C1(不寫畫法);
點A關于x軸對稱的點坐標為
點B關于y軸對稱的點坐標為
點C關于原點對稱的點坐標為
(2)若網(wǎng)格上的每個小正方形的邊長為1,則△ABC的面積是 .
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