Question

【題目】如圖，點(diǎn)E為正方形ABCD的邊BC所在直線上的一點(diǎn)，連接AE，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AE于F，連接BF．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上，且AC=EC時(shí)，求證：BF=；

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上，且AE平分∠BAC時(shí)，求證：AB+BE=AC；

（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)E繼續(xù)往右運(yùn)動(dòng)到BC中點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AE于H，連接BH．求證：∠BHF=45°．

Answer 1

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊中線的性質(zhì)即可證得結(jié)論；

（2）作EG⊥AC于G，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出BE=EG，進(jìn)而通過(guò)RT△ABE≌RT△AGE得出AG=AB，然后證得△EGC是等腰直角三角形，從而證得EG=GC，即可證得AB+BE=AC；

（3）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，則AB=AD=1，BE=EC=，根據(jù)勾股定理求得AE=，然后通過(guò)證得△AEB∽△CEF，△ADH∽△EAB，對(duì)應(yīng)邊成比例證得CF=AH=，然后根據(jù)SAS證得△ABH≌△CBF，證得BH=BF，∠ABH=∠CBF，從而證得△HBF是等腰直角三角形，從而證得∠BHF=45°．

（1）證明：如圖1，∵AC=EC，CF⊥AE，

∴AF=EF，

∴BF是RT△ABE的斜邊的中線，

∴BF=AE；

（2）如圖2，作EG⊥AC于G，

∵AE平分∠BAC，AB⊥BE，

∴BE=EG，

在RT△ABE和RT△AGE中

，

∴RT△ABE≌RT△AGE（HL），

∴AG=AB，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ACB=45°，

∴∠GEC=45°，

∴∠GEC=∠ACB=45°，

∴EG=GC，

∴AB+BE=AG+GC，

即AB+BE=AC；

（3）如圖3，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，則AB=AD=1，

∵點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，

∴BE=EC=，

∴AE==，

∵∠ABE=∠CFE=90°，∠AEB=∠CEF，

∴△AEB∽△CEF，

∴=，即=，

∴CF=，

∵AD∥BC，

∴∠DAH=∠AEB，

∵∠AHD=∠BEA=90°，

∴△ADH∽△EAB，

∴=，即=，

∴AH=，

∴CF=AH，

在△ABH和△CBF中

∴△ABH≌△CBF（SAS），

∴BH=BF，∠ABH=∠CBF，

∵∠ABH+∠HBE=∠ABE=90°，

∴∠HBF=90°，

∴△HBF是等腰直角三角形，

∴∠BHF=45°．