【題目】如圖,直線y=﹣ x+2 與x軸,y軸分別交于點(diǎn)A,點(diǎn)B,兩動(dòng)點(diǎn)D,E分別從點(diǎn)A,點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)(運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O停止),運(yùn)動(dòng)速度分別是1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒和 個(gè)單位長(zhǎng)度/秒,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過點(diǎn)E,過點(diǎn)E作x軸的平行線,與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)G,與AB相交于點(diǎn)F.
(1)求點(diǎn)A,點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)用含t的代數(shù)式分別表示EF和AF的長(zhǎng);
(3)當(dāng)四邊形ADEF為菱形時(shí),試判斷△AFG與△AGB是否相似,并說明理由.
(4)是否存在t的值,使△AGF為直角三角形?若存在,求出這時(shí)拋物線的解析式;若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】
(1)解:在直線y=﹣ x+2 中,
令y=0可得0=﹣ x+2 ,解得x=2,
令x=0可得y=2 ,
∴A為(2,0),B為(0,2 );
(2)解:由(1)可知OA=2,OB=2 ,
∴tan∠ABO= = ,
∴∠ABO=30°,
∵運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,
∴BE= t,
∵EF∥x軸,
∴在Rt△BEF中,EF=BEtan∠ABO= BE=t,BF=2EF=2t,
在Rt△ABO中,OA=2,OB=2 ,
∴AB=4,
∴AF=4﹣2t;
(3)解:相似.理由如下:
當(dāng)四邊形ADEF為菱形時(shí),則有EF=AF,
即t=4﹣2t,解得t= ,
∴AF=4﹣2t=4﹣ = ,OE=OB﹣BE=2 ﹣ × = ,
如圖,過G作GH⊥x軸,交x軸于點(diǎn)H,
則四邊形OEGH為矩形,
∴GH=OE= ,
又EG∥x軸,拋物線的頂點(diǎn)為A,
∴OA=AH=2,
在Rt△AGH中,由勾股定理可得AG2=GH2+AH2=( )2+22= ,
又AFAB= ×4= ,
∴AFAB=AG2,即 = ,且∠FAG=∠GAB,
∴△AFG∽△AGB;
(4)解:存在,
∵EG∥x軸,
∴∠GFA=∠BAO=60°,
又G點(diǎn)不能在拋物線的對(duì)稱軸上,
∴∠FGA≠90°,
∴當(dāng)△AGF為直角三角形時(shí),則有∠FAG=90°,
又∠FGA=30°,
∴FG=2AF,
∵EF=t,EG=4,
∴FG=4﹣t,且AF=4﹣2t,
∴4﹣t=2(4﹣2t),
解得t= ,
即當(dāng)t的值為 秒時(shí),△AGF為直角三角形,此時(shí)OE=OB﹣BE=2 ﹣ t=2 ﹣ × = ,
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為(0, ),
∵拋物線的頂點(diǎn)為A,
∴可設(shè)拋物線解析式為y=a(x﹣2)2,
把E點(diǎn)坐標(biāo)代入可得 =4a,解得a= ,
∴拋物線解析式為y= (x﹣2)2,
即y= x2﹣ x+ .
【解析】(1)在直線y=﹣ 3 x+23 中,令y=0,x=0,得到A為(2,0),B為(0,2 );(2)由(1)可知OA=2,OB=2 3 ,得到tan∠ABO,由∠ABO=30°,由運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,得到BE= t,EF∥x軸,所以在Rt△BEF中,EF=BEtan∠ABO=t,BF=2EF=2t,在Rt△ABO中,OA=2,OB=2 ,所以AB=4,AF=4﹣2t;(3)當(dāng)四邊形ADEF為菱形時(shí),則有EF=AF,即t=4﹣2t,得到AF=4﹣2t= ,OE=OB﹣BE= ,由圖知四邊形OEGH為矩形,得到GH=OE,又EG∥x軸,拋物線的頂點(diǎn)為A,得到OA=AH=2,在Rt△AGH中,由勾股定理可得AG2=GH2+AH2 ,得到AFAB=AG2,且∠FAG=∠GAB,得到△AFG∽△AGB;(4)由EG∥x軸,得到∠GFA=∠BAO=60°,又G點(diǎn)不能在拋物線的對(duì)稱軸上,所以∠FGA≠90°,當(dāng)△AGF為直角三角形時(shí),則有∠FAG=90°,又∠FGA=30°,得到FG=2AF,由EF=t,EG=4,得到FG=4﹣t,且AF=4﹣2t,即當(dāng)t的值為 秒時(shí),△AGF為直角三角形,此時(shí)OE=OB﹣BE,即E點(diǎn)坐標(biāo)為(0, ),由拋物線的頂點(diǎn)為A,得到可設(shè)拋物線解析式為y=a(x﹣2)2,把E點(diǎn)坐標(biāo)代入可得 =4a,解得a= ,所以拋物線解析式為y= (x﹣2)2,即y= x2﹣ x+ .
【考點(diǎn)精析】利用相似三角形的判定對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知相似三角形的判定方法:兩角對(duì)應(yīng)相等,兩三角形相似(ASA);直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似; 兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等,兩三角形相似(SAS);三邊對(duì)應(yīng)成比例,兩三角形相似(SSS).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,貴陽市某中學(xué)數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在學(xué)習(xí)了“利用三角函數(shù)測(cè)高”后.選定測(cè)量小河對(duì)岸一幢建筑物BC的高度.他們先在斜坡上的D處,測(cè)得建筑物頂?shù)难鼋菫?0°.且D離地面的高度DE=5m.坡底EA=10m,然后在A處測(cè)得建筑物頂B的仰角是50°,點(diǎn)E,A,C在同一水平線上,求建筑物BC的高.(結(jié)果保留整數(shù))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,已知直線的圖象與x軸、y軸交于A,B兩點(diǎn),直線經(jīng)過原點(diǎn),與線段AB交于點(diǎn)C,把的面積分為2:1的兩部分,求直線的解析式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四張編號(hào)為A,B,C,D的卡片(除編號(hào)外,其余完全相同)的正面分別寫上如圖所示的正整數(shù)后,背面向上,洗勻放好.
(1)我們知道,滿足a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù)a,b,c成為勾股數(shù),嘉嘉從中隨機(jī)抽取一張,求抽到的卡片上的數(shù)是勾股數(shù)的概率P1;
(2)琪琪從中隨機(jī)抽取一張(不放回),再從剩下的卡片中隨機(jī)抽取一張(卡片用A,B,C,D表示).請(qǐng)用列表或畫樹形圖的方法求抽到的兩張卡片上的數(shù)都是勾股數(shù)的概率P2 , 并指出她與嘉嘉抽到勾股數(shù)的可能性一樣嗎?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】y= x+1是關(guān)于x的一次函數(shù),則一元二次方程kx2+2x+1=0的根的情況為( )
A.沒有實(shí)數(shù)根
B.有一個(gè)實(shí)數(shù)根
C.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
D.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AD=,F是DA延長(zhǎng)線上一點(diǎn),G是CF上一點(diǎn),且∠ACG=∠AGC,∠GAF=∠F=20°,則AB= .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,過點(diǎn)A(﹣ ,0)的兩條直線分別交y軸于B,C兩點(diǎn),且B,C兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的兩個(gè)根.
(1)求線段BC的長(zhǎng)度;
(2)試問:直線AC與直線AB是否垂直?請(qǐng)說明理由;
(3)若點(diǎn)D在直線AC上,且DB=DC,求點(diǎn)D的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如果兩個(gè)角之差的絕對(duì)值等于60°,則稱這兩個(gè)角互為“互優(yōu)角”,(本題中所有角都是指大于0°且小于180°的角).
(1)若∠1和∠2互為“互優(yōu)角”,當(dāng)∠1=90°時(shí),則∠2=_____°;
(2)如圖1,將一長(zhǎng)方形紙片沿著EP對(duì)折(點(diǎn)P在線段BC上,點(diǎn)E在線段AB上)使點(diǎn)B落在點(diǎn)若與互為“互優(yōu)角”,求∠BPE的度數(shù);
(3)再將紙片沿著PF對(duì)折(點(diǎn)F在線段CD或AD上)使點(diǎn)C落在C′:
①如圖2,若點(diǎn)E、C′、P在同一直線上,且與互為“互優(yōu)角”,求∠EPF的度數(shù)(對(duì)折時(shí),線段落在∠EPF內(nèi)部);
②若∠B′PC′與∠EPF互為“互優(yōu)角”,則∠BPE求∠CPF應(yīng)滿足什么樣的數(shù)量關(guān)系(直接寫出結(jié)果即可).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx﹣4與x軸交于A(4,0)、B(﹣2,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)P是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)(端點(diǎn)除外),過點(diǎn)P作PD∥AC,交BC于點(diǎn)D,連接CP.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何處時(shí),BP2=BDBC;
(3)當(dāng)△PCD的面積最大時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).
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