Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，在線段CB上以每秒1cm的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)．與此同時(shí)，點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)，在線段BA上以每秒lcm的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)P作PN⊥BC，交AC點(diǎn)N，連接MP，MN．當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)BC中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P與M同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PM⊥AB．
（2）設(shè)△PMN的面積為y（cm2），求出y與x之間的函致關(guān)系式．
（3）是否存在某一時(shí)刻t，使S△PMN：S△ABC=1：5？若存在，求出t的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于D，

∵AB=AC，∠ADB=90°，

∴BD=CD=6，

∴ =8，

∵M(jìn)P⊥AB，

∴∠BMP=∠ADB=90°，

∵∠B=∠B，

∴△BMP∽△BDA，

∴ ，

∴ 解得t= ，

∴當(dāng)t為 時(shí)，PM⊥AB

（2）

解：過(guò)點(diǎn)M作ME⊥NP于E，交AD于F．

∵BC⊥NP，

∴NP∥AD，

∴∠ADP=∠C，

∵∠C=∠NPC，

∴△BMP∽△BDA，

∴ ，

∴ ，

∴PN= ，同理MF= ，

∵∠BPN=∠ADP=∠MEP=90°，

∴四邊形DPEF是矩形，

∴EF=DP=6﹣t，

∴ME=MF+EF= （10﹣t）+6﹣t=12﹣ ，

∴S△MPN= PNME= =﹣ +8t，（0＜t≤6）

（3）

解：存在．

由題意：﹣ +8t= × ×12×8，

解得到t= 或6．

所以t= 秒或6秒時(shí)，S△PMN：S△ABC=1：5．

【解析】（1）根據(jù)△BMP∽△BDA得 即可列出方程解決．（2）根據(jù)△BMP∽△BDA得 求出PN，MF，在證明四邊形DPEF是矩形得到ME即可．（3）代入（2）即可用方程解決．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用相似圖形和相似三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握形狀相同，大小不一定相同（放大或縮小）;判定:①平行；②兩角相等；③兩邊對(duì)應(yīng)成比例，夾角相等；④三邊對(duì)應(yīng)成比例；對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形．