【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,連接AC,AD=AC,過點(diǎn)D作DF⊥AC交BC于點(diǎn)F,交AC于點(diǎn)E,連接AF.
(1)若AE=4,DE=2EC,求EC的長(zhǎng).
(2)延長(zhǎng)AC至點(diǎn)H,連接FH,使∠H=∠EDC,若AB=AF=FH,求證:FD+FC=AD.
【答案】(1)EC=;(2)詳見解析.
【解析】
(1)設(shè)EC=x,則DE=2x,AD=AC=AE+EC=4+x,在Rt△ADE中,由勾股定理得出方程,解方程即可;
(2)證明△DEC≌△HEF(AAS),得出EC=EF,DE=EH,得出△CEF是等腰直角三角形,得出∠ECF=45°,再證明△ADE是等腰直角三角形,得出∠DAC=45°,DE=AD,由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ADC=∠ACD=67.5°,求出∠EDC=∠H=22.5°,得出∠CFH=∠EF﹣∠H=22.5°=∠H,證出CF=CH,即可得出結(jié)論.
(1)解:設(shè)EC=x,則DE=2x,AD=AC=AE+EC=4+x,
∵DF⊥AC,
∴∠AED=90°,
在Rt△ADE中,由勾股定理得:(2x)2+42=(4+x)2,
解得:x=,或x=0(舍去),
∴EC=;
(2)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AB=CD,
∵AB=AF=FH,
∴CD=FH,
∵DF⊥AC,
∴∠DEC=∠HEF=90°,
在△DEC和△HEF中,,
∴△DEC≌△HEF(AAS),
∴EC=EF,DE=EH,
∵DF⊥AC,
∴△CEF是等腰直角三角形,
∴∠ECF=45°,
∵AF=FH,DF⊥AC,
∴AE=HE=DE,
∴△ADE是等腰直角三角形,
∴∠DAC=45°,DE=AD,
∵AD=AC,
∴∠ADC=∠ACD=(180°﹣45°)=67.5°,
∴∠EDC=∠H=22.5°,
∴∠CFH=∠EF﹣∠H=22.5°=∠H,
∴CF=CH,
∴EF+FC=EC+CH=EH=DE,
∴FD+FC=DE+EF+FC=DE+DE=2DE=AD.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平行四邊形中,對(duì)角線,交于點(diǎn). 為中點(diǎn),連接交于點(diǎn),且.
(1)求的長(zhǎng);
(2)若的面積為2,求四邊形的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若n是一個(gè)兩位正整數(shù),且n的個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字,則稱n為“兩位遞增數(shù)”(如13,35,56等).在某次數(shù)學(xué)趣味活動(dòng)中,每位參加者需從由數(shù)字1,2,3,4,5,6構(gòu)成的所有的“兩位遞增數(shù)”中隨機(jī)抽取1個(gè)數(shù),且只能抽取一次.
(1)寫出所有個(gè)位數(shù)字是5的“兩位遞增數(shù)”;
(2)請(qǐng)用列表法或樹狀圖,求抽取的“兩位遞增數(shù)”的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字之積能被10整除的概率.
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【題目】太陽能光伏發(fā)電因其清潔、安全、便利、高效等特點(diǎn),已成為世界各國(guó)普遍關(guān)注和重點(diǎn)發(fā)展的新興產(chǎn)業(yè),如圖是太陽能電池板支撐架的截面圖,其中的粗線表示支撐角鋼,太陽能電池板與支撐角鋼AB的長(zhǎng)度相同,均為300cm,AB的傾斜角為,BE=CA=50cm,支撐角鋼CD,EF與底座地基臺(tái)面接觸點(diǎn)分別為D,F(xiàn),CD垂直于地面,于點(diǎn)E.兩個(gè)底座地基高度相同(即點(diǎn)D,F(xiàn)到地面的垂直距離相同),均為30cm,點(diǎn)A到地面的垂直距離為50cm,求支撐角鋼CD和EF的長(zhǎng)度各是多少cm(結(jié)果保留根號(hào))
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【題目】新學(xué)期伊始,西大附中的學(xué)子們積極響應(yīng)學(xué)校的“書香校園”活動(dòng),踴躍捐出自己喜愛的書籍,互相分享,讓閱讀成為一種習(xí)慣.據(jù)調(diào)查,某年級(jí)甲班、乙班共80人捐書,丙班有40人捐書,已知乙班人均捐書數(shù)量比甲班人均捐書數(shù)量多5本,而丙班的人均捐書數(shù)量是甲班人均捐書數(shù)量的一半,若該年級(jí)甲、乙、丙三班的人均捐書數(shù)量恰好是乙班人均捐書數(shù)量的,且各班人均捐書數(shù)量均為正整數(shù),則甲、乙、丙三班共捐書_____本.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,A點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),C點(diǎn)坐標(biāo)為(7,0),若點(diǎn)P在直線y=kx+3上運(yùn)動(dòng)時(shí),只存在一個(gè)點(diǎn)P使∠APC=90°,則k的值是_____
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【題目】(2013年廣東梅州11分)用如圖①,②所示的兩個(gè)直角三角形(部分邊長(zhǎng)及角的度數(shù)在圖中已標(biāo)出),完成以下兩個(gè)探究問題:
探究一:將以上兩個(gè)三角形如圖③拼接(BC和ED重合),在BC邊上有一動(dòng)點(diǎn)P.
(1)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到∠CFB的角平分線上時(shí),連接AP,求線段AP的長(zhǎng);
(2)當(dāng)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)的過程中出現(xiàn)PA=FC時(shí),求∠PAB的度數(shù).
探究二:如圖④,將△DEF的頂點(diǎn)D放在△ABC的BC邊上的中點(diǎn)處,并以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)△DEF,使△DEF的兩直角邊與△ABC的兩直角邊分別交于M、N兩點(diǎn),連接MN.在旋轉(zhuǎn)△DEF的過程中,△AMN的周長(zhǎng)是否存在有最小值?若存在,求出它的最小值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y1=2x﹣2與雙曲線y2=交于A、C兩點(diǎn),AB⊥OA交x軸于點(diǎn)B,且OA=AB.
(1)求雙曲線的解析式;
(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo),并直接寫出y1<y2時(shí)x的取值范圍.
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【題目】如圖,正方形網(wǎng)格中,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是一個(gè)單位長(zhǎng)度,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(1,4),B(1,1),C(3,1).
(1)畫出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的△A1B1C1;
(2)畫出△ABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的△A2B2C2;
(3)在(2)的條件下,求線段BC掃過的面積(結(jié)果保留π).
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